Cuál es la diferencia entre el esquema de grupo constante asociado a Grupo cíclico y $\mu_n$

Question

Que $k$ un campo. Que $\operatorname{char}(k) \not\mid n$.

Considerar el grupo dos esquemas $\mu_n=spec(k[t]/(t^n-1))$ y $\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ la constante grupo de esquema asociado al Grupo cíclico ${\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$. ¿Son isomorfos como esquemas de grupo? ¿Son isomorfos cuando $k$ es algebraicamente cerrada?

En general es falso porque no tener $\mu_n(k)$ $n$ elementos. ¿Pero cuando son isomorfos?

Answer 1

Aquí es mucho más baja de la tecnología de Alex Wertheim. Como usted alude, una condición necesaria para $\mu_n$ $\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ a ser isomorfo es que $\mu_n(k)$ $n$ elementos, lo que sucede en el fib $t^n-1$ se divide $k$. Por otro lado, si $t^n-1$, dividido en $k$, esto le da un isomorfismo de $k$-álgebras $k[t]/(t^n-1)\to k^n$ por el teorema del resto Chino. Así como un $k$ -, $\mu_n$ es sólo un discontinuo de la unión de $n$ copias de $\operatorname{Spec} k$. Por eso, $\mu_n\times \mu_n$ es un discontinuo de la unión copias de $n^2$ copias de $\operatorname{Spec} k$, y la multiplicación del grupo $\mu_n\times\mu_n\to\mu_n$ está determinado por lo que hace en $k$-puntos (y lo mismo para la operación inversa). De ello se desprende que $\mu_n$ es isomorfo como un esquema de grupo para el grupo constante esquema de $\underline{\mu_n(k)}\cong\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$.

Este argumento se aplica igualmente bien a cualquier esquema de grupo sobre $k$ que es isomorfo como un esquema sobre $k$ a un discontinuo de la unión de copias de $\operatorname{Spec} k$. En términos más abstractos, la libre functor de conjuntos de a $k$-esquemas (izquierda adjuntos a los "olvidadizos functor" de $k$de los puntos) es totalmente fiel y conserva los productos, por lo que cualquier esquema de grupo, cuyo subyacente $k$-esquema de libre debe venir de parte de un grupo de objetos en conjuntos.

Answer 2

Como se nota, que esto es falso si la característica de $k$ divide $n$; de hecho, se puede observar este calculando el número de puntos por encima de (digamos) $k_{\mathrm{sep}}$, o señalando que $\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ es un étale esquema de grupo, mientras que $\mu_{n}$ es étale si y sólo si $\mathrm{char}(k)$ no divide $n$.

Por lo tanto, supongamos que $\mathrm{char}(k)$ no divide $n$. Yo reclamo que $\mu_{n}$ $\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ son isomorfos si y sólo si $k$ contiene todos los $n$th raíces de la unidad, es decir, si y sólo si $t^{n}-1$ se divide en $k[t]$.

De hecho, poner $\Gamma_{k} = \mathrm{Gal}(k_{\mathrm{sep}}/k)$. Hay una equivalencia de categorías entre (afín) étale grupo de los regímenes y grupos finitos con continuas $\Gamma_{k}$-acción (por grupo homomorphisms). Esta correspondencia se menciona en varios agradable en línea notas: consulte la página 24 aquí o en la página 206 aquí. Sin embargo, el tratamiento que la mayoría prefiere (aunque estoy un poco sesgado) se encuentra en la página 332 de "El Libro de Involuciones". Voy a reproducir algunos de los detalles aquí.

Si $G$ es un étale esquema de grupo, a continuación, $G(k_{\mathrm{sep}})$ es un número finito (discreta) de grupo con una acción continua de $\Gamma_{F}$. Por el contrario, vamos a $H$ ser un grupo finito con continuas $\Gamma_{k}$-acción por el grupo homomorphisms. Deje $A = \mathrm{Map}(H, k_{\mathrm{sep}})$ $k_{\mathrm{sep}}$- álgebra de mapas del juego de $H \to k_{\mathrm{sep}}$. A continuación, $A$ admite un $\Gamma_{k}$-acción dada en $f \in A$ por

$$(\gamma f)(h) = \gamma f (\gamma^{-1}h)$$

para $\gamma \in \Gamma_{k}, h \in H$. Entonces uno puede comprobar que $A^{\Gamma_{k}}$ es un étale de Hopf $k$-álgebra. Es étale por Galois descenso: el isomorfismo

$$A^{\Gamma_{k}} \otimes_{F} k_{\mathrm{sep}} \to A, f \otimes x \mapsto xf$$

de $k_{\mathrm{sep}}$-espacios vectoriales es fácilmente visible a ser una de morfismos de $k_{\mathrm{sep}}$-álgebras, y $A$ se descompone como $\prod_{h \in H} k_{\mathrm{sep}} \cdot e_{h}$ donde $e_{h}$ es la característica de la función en $h$. Uno puede comprobar que $A^{\Gamma_{k}}$ es una de Hopf-álgebra a través de la co-multiplicación, co-inversión y la co-unidad de morfismos de grupo constante de los esquemas (déjame saber si este punto no está claro; estoy siendo un poco impreciso).

En virtud de esta equivalencia de categorías, de grupo constante de esquemas corresponden a grupos finitos con trivial $\Gamma_{k}$-acción. Por lo tanto, uno puede ver que $\mu_{n}$ es constante, precisamente, al $\mu_{n}(k_{\mathrm{sep}}) = \{x \in (k_{\mathrm{sep}})^{\times} \mid x^{n} = 1\}$ ha trivial $\Gamma_{k}$ acción, que se produce precisamente cuando todos los $n$th raíces de la unidad pertenecen a $k$.