Resolviendo la integral impropia que involucran exponenciales y logaritmo de producto

Question

Es posible verificar o demostrar numéricamente que

$\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}W(e^{x-e^{x}})dx=\frac{\pi^2}{12}$

$W(x)$ es la función W de Lambert.

Esta integral no parece tener una solución en términos de funciones elementales o estándar.

¿Es posible demostrar o resolver analíticamente, o para encontrar una solución simbólica?

Answer 1

La $y=e^x$de sustitución % obtiene su integral como $\int0^\infty y^{-1}W(ye^{-y})dy$. $W(z)=\sum{n\ge 1} w_n z^n$ $w_n:=(-1)^{n-1}\frac{n^{n-1}}{n!}$ De la escritura, podemos escribir esta integral como $\sum_n\dfrac{w_n\Gamma(n)}{n^n}=\sum_n (-1)^{n-1} n^{-2}=\dfrac{1}{2}\zeta(2)$.