Si $\left< e^{-x}\right>=1$ y $\left<x\right>\ge 0$.

Question

Estoy ganas de demostrar que: $$\left=1\Rightarrow \left<x>\ge 0\tag{a}$ $ que aparece en la física de nonequilbrium $x$ siendo la diferencia de entropía. Intuitivamente parece correcto como tenemos: $$ \int dx\; e^{-x} P(x)=1\tag{b}$ $ así $P(x)$ tendrá que ser mayor para los términos de $x \gt 0$ de $x\lt 0$ $e^{-x}$ factor pesa sobre $x\gt 0$ términos. Pero ¿cómo puedo demostrar rigurosamente (a)?</x>

Answer 1

% De desigualdad de Jensen $\langle e^{-x} \rangle \geq e^{-\langle x \rangle}$sostiene debido a la convexidad de $\exp(-x)$. De que obtenemos $$1= \langle e^{-x} \rangle \geq e^{-\langle x \rangle}$ $ y después de tomar el $\log$ % $ $$ 0\geq - \langle x \rangle \Rightarrow 0 \leq \langle x \rangle.$

Answer 2

Suponiendo que $\left <e>=1$ podemos escribir $$\left <x>=\int (e^{-x}-1+x)P(x)dx$$ This follows, since $\left = \left -1 + \left $. Now since $P (x) $\geq 0$, we only have to show that $e^{-x}-1+x\geq 0.</x></e>

Que $f(x)=e^{-x}-1+x$ y considerar %#% $ de #% observamos que:

• $$f'(x)=1-\frac{1}{e^x}$ Cuando $f'(x)
• $x
• $x=0$ Cuando $f'(x)>0$

Así, $x>0$ tiene un mínimo en $f(x)$, en cual caso $x=0$. Así $f(0)=0$.