¿Es posible tener dos modelos $M$, $N$ y para cada uno una incrustación primaria a otra, pero el $M$, $N$ no son isomorfos?

Question

¿Es posible tener dos modelos $M$ $N$ de una teoría $T$, un elemental inclusión $f$ $M$ $N$ y también una escuela primaria incrustación $g$ $N$ $M$, y pero que $M$ y $N$ son no isomorfos?

Yo creo que la respuesta es no, pero no tengo ninguna buena razón. Estoy buscando un ejemplo.

Answer 1

Una simple fuente de ejemplos es la teoría de órdenes lineares densas. Esta teoría tiene eliminación del cuantificador, por lo que cualquier incrustación es elemental. Así, por ejemplo, $M=\mathbb{R}$ y $N=\mathbb{R}\setminus{0}$ cada elemental incrustar en el otro (es evidente la inclusión $N\to M$ y $M$ incrusta en $N$ $\mathbb{R}$ es orden isomorfa a cualquier intervalo abierto en $\mathbb{R}$). Sin embargo, no son isomorfos, ya que $\mathbb{R}$ es Dedekind-completo y $\mathbb{R}\setminus{0}$ no es.

Answer 2

En un comentario, bof ha dado una contables contraejemplo, y Eric respuesta da un ejemplo de tamaño de continuo. He aquí un ejemplo que es "todo sobre" cardinalidad: no hay ningún modelo interesante de la teoría de la estructura, un modelo que se caracteriza en su totalidad por un conjunto múltiple de los cardenales, y todo se reduce a hacer un par de secuencias de cardenales que "cola de milano."

Considerar el lenguaje consta de un único binario relación $E$. Echemos un vistazo a dos modelos diferentes que consisten en una infinidad de $E$-clases de equivalencia.

• En $\mathcal{A}$, tenemos un $E$-clase de cardinalidad $\aleph_{2n}$ por cada $n\in\omega$.

• En $\mathcal{B}$, tenemos un $E$-clase de cardinalidad $\aleph_{2n+1}$ por cada $n\in\omega$.

La teoría de estas estructuras, como en Eric ejemplo, eliminación de cuantificadores, así que todas las incrustaciones son primarias.

Answer 3

Aquí está un ejemplo con contables de modelos, de hecho, contable de conjuntos ordenados. (Por conjunto ordenado y el tipo de orden que quiero decir linealmente conjunto ordenado y lineal tipo de orden.)

Lema 1. Deje $\varphi,\psi$ tipos de orden. Si $(\omega^*+\omega)\varphi=(\omega^*+\omega)\psi,$ $\varphi=\psi.$

Lema 2. Deje $M,N$ ser conjuntos ordenados con el fin de tipos de $\operatorname{tp}M=(\omega^*+\omega)\varphi,\ \operatorname{tp}N=(\omega^*+\omega)\psi.$
Si $\varphi\le\psi,$ $M$ es elementarily integrable en $N.$

Lema 1 es más o menos obvio. Para Lema 2, el método de Ehrenfeucht–Fraïssé juegos puede ser utilizado para demostrar que el natural de la incrustación es elemental.

Ahora todo lo que tienes que hacer es encontrar contables tipos de orden de $\varphi,\psi$ tal que $\varphi\le\psi\le\varphi$ mientras $\varphi\ne\psi.$ Para esto podemos tomar $\varphi=\eta$ $\psi=1+\eta$ donde $\eta$ es el tipo de orden de los números racionales; o, si dispersos órdenes son los preferidos, $\varphi=\omega^*\omega$ $\psi=1+\omega^*\omega$ va a hacer.