¿Qué hace $A^{-1}=A^T$ tiene que ver con la "ortogonalidad"?

Question

Siempre que he leído algún uso del término "ortogonal", he podido encontrar alguna forma en la que es al menos metafóricamente similar a la idea de dos líneas ortogonales en el espacio euclidiano.

Por ejemplo, variables aleatorias ortogonales, etc.

Pero no puedo ver cómo $A^{-1}=A^T$ recoge la idea de "ortogonalidad". ¿Qué tiene de "ortogonal" una matriz que cumple esta propiedad?

Answer 1

$A^{-1} = A^T \iff A^T A = I$ Así que vamos a explorar lo que significa esta última propiedad. (Supongamos que estamos trabajando en un espacio vectorial real, concretamente $\mathbb{R}^n$ .) Escriba

$$A = \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \dots&\uparrow \\ v_1 &v_2&\dots&v_n \\ \downarrow&\downarrow&\dots&\downarrow \end{pmatrix} $$ entonces $$A^TA = \begin{pmatrix}\leftarrow & v_1 & \rightarrow \\ \leftarrow & v_2 & \rightarrow \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \leftarrow & v_n & \rightarrow \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \uparrow & \uparrow & \dots&\uparrow \\ v_1 &v_2&\dots&v_n \\ \downarrow&\downarrow&\dots&\downarrow \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_1\cdot v_1 & v_1\cdot v_2&\dots&v_1 \cdot v_n \\ v_2\cdot v_1 & v_2\cdot v_2&\dots&v_2 \cdot v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_n\cdot v_1 & v_n\cdot v_2&\dots&v_n \cdot v_n \\ \end{pmatrix}. $$ Así que, $A^T A = I$ corresponde exactamente a $v_i \cdot v_i = 1$ y $v_i \cdot v_j = 0$ para $i \neq j$ es decir $\{v_i\}$ son un sistema ortonormal. Por tanto, si una matriz es ortogonal, sus columnas son ortogonales. Del mismo modo, se puede ver que sus filas también son ortogonales, ya que si $A$ es ortogonal entonces $A^T$ también lo es.

Answer 2

Porque una matriz tiene esa propiedad si y sólo si todas las columnas son ortonormales. Esto también es equivalente a la afirmación de que todas las filas son ortonormales.

Answer 3

Cuando esto ocurre, el determinante es $1$ o $-1$ que se puede verificar explícitamente. No sólo el determinante es una unidad, la transformación preserva los vectores ortogonales.

Dejemos que $u,v$ sean vectores ortogonales. Entonces el producto interior $\langle Au , Av\rangle = \langle u, A^TAv \rangle$ . Esto es cierto debido a la naturaleza del producto interior; te animo a que lo compruebes explícitamente. Sin embargo, $A^TA = I$ Así que $$\langle Au, Av \rangle = \langle u, v \rangle$$ De este modo, se mantiene la ortogonalidad. Esta es la verdadera razón por la que necesitamos $A^T = A^{-1}$ para que una matriz sea ortogonal.

Answer 4

Si una matriz es ortogonal, la columna de la matriz formará un sistema ortonormal. Es decir, $\langle v_i,v_j\rangle=\delta_{i,j}$ para dos vectores columna $v_i$ y $v_j$ . Ahora bien, esto implica más bien que es una definición que $AA^T=I$ .

Answer 5

Cuando se multiplican dos matrices, el resultado consiste en los productos escalares de las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda. Si tienes $A^{-1}=A^T$ entonces $A^TA=I$ pero este producto se compone de todos los productos punto a par de las columnas de $A$ . Todos los productos que corresponden a productos punto de diferentes columnas son cero, que es precisamente la condición para su ortogonalidad. Además, todos los productos puntuales de las columnas consigo mismas son iguales a $1$ lo que significa que todas las columnas son vectores unitarios: las columnas de $A$ son un conjunto ortonormal de vectores.