Dos desigualdades sobre el uso de Fatou Lemma

Question

1) Deje que $\{f_n\}$ ser una secuencia de funciones mensurables no negativas de $ \mathbb R$ que converge puntualmente en $ \mathbb R$ a $f$ integrable. Demuestra que

$$ \int_ { \mathbb R} f = \lim_ {n \to \infty } \int_ { \mathbb R}f_n \Rightarrow \int_ {E} f = \lim_ {n \to \infty } \int_ {E}f_n $$

para cualquier conjunto medible $E$

Sé que $ \int_ { \mathbb R} f = \int_ { \mathbb R \setminus E} f + \int_ {E} f$ y $ \int_ { \mathbb R \setminus E} f \le \liminf_ {n \to { \infty }} \biggr ( \int_ { \mathbb R \setminus E} f_n \biggr )$ de la Lemma de Fatau.

No pude obtener $ \int_ {E} f = \liminf_ {n \to \infty } \int_ {E}f_n = \limsup_ {n \to \infty } \int_ {E}f_n$ y he visto esa desigualdad abajo para obtenerlo pero no pude entenderlo. ¿Podría alguien explicarme por favor?

$$ \liminf_ {n \to \infty } \int_ { \mathbb R \setminus E}f_n = \int_ { \mathbb R}f- \limsup_ {n \to \infty } \int_ {E}f_n$$

2) Se ha escrito "desde $ \int_Ef_n \le \int_Ef $ (esta desigualdad de la monotonicidad la he comprendido) así

$$ \limsup\int_Ef_n \le \int_Ef $$

en prueba del teorema de la convergencia monótona en el análisis real de Royden. No pude ver por qué se obtiene esa desigualdad.

Gracias por cualquier ayuda.

Saludos

Answer 1

1. Podemos mostrar un resultado más fuerte, a saber, que $ \int_ { \mathbb R} \left\lvert f_n-f \right\rvert\to 0$ aplicando el lema de Fatou a $g_n:= \left\lvert f_n-f \right\rvert -f+f_n$ .

2. Si $ \left (a_n \right )_{n \geqslant 1}$ es una secuencia de número real tal que $a_n \leqslant t$ para todos $n$ Entonces $ \limsup_ {n \to + \infty }a_n \leqslant t$ porque para todos $N$ , $s_N \sup_ {n \geqslant N}a_n \leqslant t$ y $ \limsup_ {n \to + \infty }a_n= \lim_ {N \to + \infty }s_N$ .

Answer 2

Claramente $|f_n - f| \le f_n + f$ así que define $g_n = f_n + f - |f_n - f| \ge 0$ . Tenemos $g_n \xrightarrow {n \to\infty } 2f$ en el sentido estricto de la palabra.

El lema de Fatou se aplicó en $g_n$ da

\begin {alinear} 2 \int_ { \mathbb f & \le \liminf_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R} g_n \\ &= \liminf_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R} f_n + \liminf_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R} f + \liminf_ {n \to\infty } \left (- \int_\mathbb {R}|f_n - f| \right ) \\ &= 2 \int_ { \mathbb f - \limsup_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R}|f_n - f| \end {alinear}

así que $ \limsup_ {n \to\infty } \int_\mathbb {R}|f_n - f| = 0$ lo que implica $ \int_\mathbb {R}|f_n - f| \xrightarrow {n \to\infty } 0$ .

Ahora para cualquier $E \subseteq \mathbb {R}$ medible

$$ \left | \int_E f_n - \int_E f \right | = \left | \int_E (f_n - f) \right | \le \int_E |f_n - f| \le \int_\mathbb {R} |f_n - f| \xrightarrow {n \to\infty } 0$$

así que $ \int_E f_n \xrightarrow {n \to\infty } \int_E f$ .

Answer 3

Buena pregunta. Aquí hay otro posible enfoque.

Ya tienes $ \int_ { \mathbb R} f = \int_ { \mathbb R \setminus E} f + \int_ {E} f$ y $ \int_ { \mathbb R \setminus E} f \le \liminf_ {n \to { \infty }} \biggr ( \int_ { \mathbb R \setminus E} f_n \biggr )$ . Así que tenemos

$$ \lim_ {n \to { \infty }} \int_ { \mathbb R} f_n = \int_ { \mathbb R} f \leq\liminf_ {n \to { \infty }} \biggr ( \int_ { \mathbb R \setminus E} f_n \biggr )+ \int_ {E} f. $$

Noten que para las secuencias reales $a_n$ , $ \liminf_ {n \to \infty }a_n = - \limsup_ {n \to \infty }(-a_n)$ (véase la sección "propiedad" en wiki ), y $ \lim_ {n \to { \infty }} \int_ { \mathbb R} f_n = \limsup_ {n \to \infty } \int_ { \mathbb R} f_n$ . Por lo tanto, la desigualdad anterior puede ser reescrita como $$ \limsup_ {n \to { \infty }} \int_ { \mathbb R} f_n \leq - \limsup_ {n \to { \infty }} \biggr (- \int_ { \mathbb R \setminus E} f_n \biggr )+ \int_ {E} f, $$ o equivalente, $$ \limsup_ {n \to { \infty }} \int_ { \mathbb R} f_n + \limsup_ {n \to { \infty }} \biggr (- \int_ { \mathbb R \setminus E} f_n \biggr ) \leq \int_ {E} f, $$

A continuación usaremos otra propiedad para el límite superior, que dice que para dos secuencias $a_n$ y $b_n$ Tenemos

$$ \limsup_ {n \to \infty }(a_n+b_n) \leq \limsup_ {n \to \infty }a_n + \limsup_ {n \to \infty }b_n. $$

Por lo tanto, tenemos $$ \limsup_ {n \to { \infty }} \biggr ( \int_ { \mathbb R} f_n- \int_ { \mathbb R \setminus E} f_n \biggr ) \leq \limsup_ {n \to { \infty }} \int_ { \mathbb R} f_n + \limsup_ {n \to { \infty }} \biggr (- \int_ { \mathbb R \setminus E} f_n \biggr ) \leq \int_ {E} f, $$

eso es, $$ \int_ {E} f \geq \limsup_ {n \to { \infty }} \int_ { E} f_n.$$

Para el último paso, por el lema de Fatou tenemos $ \int_ {E} f \leq \liminf_ {n \to { \infty }} \int_ { E} f_n$ Así que

$$ \lim_ {n \to { \infty }} \int_ { E} f_n = \liminf_ {n \to { \infty }} \int_ { E} f_n = \limsup_ {n \to { \infty }} \int_ { E} f_n = \int_ {E} f. $$