Probar que el polinomio de abajo tiene al menos un nonreal complejo de raíz
$$x^5+\frac{x^4}2+ \frac{x^3}3+\frac{x^2}4+\frac x{24}+\frac 1{120}$$
He tratado de probar que no existe $k\in \Bbb R$, de tal manera que el anterior polinomio puede ser tenidos en cuenta en la $(x^2+k)P(x)$, donde deg$(P)=3$. Pero de alguna manera yo no podía trabajar.
Entre dos raíces reales de un polinomio debe haber al menos una raíz de sus derivados. Por lo que el máximo posible de las raíces del polinomio es el número de raíces de la derivada más uno.
En este caso, tenemos $f(x)=x^5+x^4/2+x^3/3+x^2/4+x/24+1/120$, y $$ f"'=60 x^2+12x+2, $$ que no tiene raíces reales. Por lo $f''$ tiene al menos una raíz real; $f'$ tiene más de dos raíces reales, y, finalmente, $f$ tiene más de tres raíces reales. Llegamos a la conclusión de que $f$ tiene al menos dos raíces complejas.
Aquí está una manera de hacerlo sin tener que recurrir a cálculos:
Eliminar la cuártica plazo (lo que lo convierte en un "deprimido quintic") por lo que la sustitución de $x=z-1/10$ ($1/10$ es una quinta parte del coeficiente de $x^4$), lo que convierte a la polinomio en $$z^5+\frac{7 z^3}{30}+\frac{17 z^2}{100}+\frac{z}{6000}+\frac{239}{37500}\text{.}$$ By Descartes' Rule of Signs, this has no positive roots and either three or one negative roots. $0$ ciertamente no es una raíz, por lo que debe tener al menos 2 de las raíces reales.
Por otro lado, se podría utilizar el discriminante para mostrar, además, que debe tener exactamente una raíz real, pero el discriminante es $2258539/17915904000$ y no es algo que se puede calcular con la mano, dada la fórmula para el discriminante de una monic quintic es bastante terrible (que se puede comprobar con Wolfram|Alpha).
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