Cómo mostrar $\sum\limits_{i=1}^n\log\left(\frac{n}i\right)= \Theta(n)$ ?

Question

¿Es la suma de i=1 a n para log(n/i) = (n)?

Estoy estudiando para un examen y agradezco su ayuda. Esto es lo que hice: y obtuve algo más

$$\sum_{i=1}^n \log(n/i)=\sum_{i=1}^n[\log n-\log i]=\left(\sum_{i=1}^n\log n\right)-\left(\sum_{i=1}^n \log i\right)=n\log n-\log n!=\log\left(\frac{n^n}{n!}\right) $$

Answer 1

Lo has hecho todo tú solo, de verdad:
La fórmula de Stirling muestra que $n^n/n!\sim(2\pi n)^{-1/2}\mathrm e^{n}$ Por lo tanto $\sum\limits_{i=1}^n\log(n/i)=\log(n^n/n!)$ (su puesto) y $$\log\left(n^n/n!\right)=n-\frac12\log(2\pi n)+o(1)=n+o(n)=\Theta(n).$$

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Editar (sin la fórmula de Stirling)
Llame a $x_n=\sum\limits_{i=1}^n\log(n/i)=n\log(n)-\sum\limits_{i=1}^n\log(i)$ Por lo tanto $$ x_{n+1}-x_n=(n+1)\log(n+1)-n\log(n)-\log(n+1)=n\log(1+1/n). $$ Desde $\log(1+u)=u+o(u)$ cuando $u\to0$ , $x_{n+1}-x_n=1+o(1)$ cuando $n\to\infty$ . Esto implica que $x_n=n+o(n)=\Theta(n)$ .

Answer 2

Una pista: Usa eso

$$ \sum_{i=1}^n \log i = \int_1^n \log x ~dx + O(1). $$

Desde $\int_1^n \log x~dx = n \log n - n + o(1)$ Esto demuestra que

$$ \sum_{i=1}^n \log (n/i) = n + O(1) = \Theta(n). $$

Answer 3

¿Cuál es su $Θ(n)$ ¿función?

$\sum _{i=1}^n Log\left(\frac{n}{i}\right)=\log \left(\frac{n^n}{n!}\right)$