Esta es la prueba de La Trascendencia de $\pi$ por Steve Mayer, noviembre de 2006
He reescrito a continuación en parte, para que yo lo entiendo y en parte así que si usted es demasiado perezoso para hacer clic en el enlace o si el enlace va de distancia hay una copia aquí.
Definición: Un número complejo es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ si es una raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales.
yo.e: $a$ es algebraico si hay números racionales $\alpha_0, \alpha_1,...,\alpha_n$ no todos los 0 tal que $\alpha_0a^n + \alpha_1a^{n-1} + ... + \alpha_{n-1}a + \alpha_n = 0$
Definición: Un número complejo es trascendental, si es que no algebraicas.
Teorema (Lindemann-Weierstrass): $\pi$ es trascendental $\mathbb{Q}$
Prueba: Si $\pi$ satisface una ecuación algebraica con coeficientes en $\mathbb{Q}$, por lo que no $i\pi$. Deje que esta ecuación se $\theta_1(x) = 0$ con raíces $i\pi = \alpha_1, ..., \alpha_n.$, $e^{i\pi} + 1 = 0$ así
$(e^{\alpha_1} + 1)...(e^{\alpha_n} + 1) = 0$
Ahora podemos construir una ecuación algebraica con coeficientes enteros cuyas raíces son los exponentes de $e$ en la expansión del producto arriba indicado. Por ejemplo, los exponentes en pares se $\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_3, ..., \alpha_{n-1} + \alpha_n$. El $\alpha$'s de satisfacer una ecuación polinómica $\mathbb{Q}$ para la primaria de su symmetrix funciones racionales. Por lo tanto la primaria simétrica de las funciones de la suma de los pares son simétricas funciones de la $\alpha$'s y también racional. Así, las parejas son las raíces de la ecuación de $\theta_2(x) = 0$ con coeficientes racionales. Del mismo modo, la suma de 3 $\alpha$'s son las raíces de $\alpha_3(x) = 0$, etc...
Entonces, la ecuación
$\theta_1(x)\theta_2(x)...\theta_n(x) = 0$
es una ecuación polinómica de más de $\mathbb{Q}$ cuyas raíces son todas las sumas de $\alpha$'s. La eliminación de cero raíces de este, si las hubiere, obtenemos:
$\theta(x) = 0$
$\theta(x) = cx^r + c_1x^{r-1}+...c_r$
y $c_r \neq 0$ ya que hemos eliminado cero raíces. Las raíces de esta ecuación son los no-cero exponentes de la $e$ en el producto cuando se expande. Llamar a estos $\beta_1,...,\beta_r$. El original de la ecuación se convierte en
$e^{\beta_1} + ... e^{\beta_r} + e^0 + ... e^0 = 0$
yo.e: $\sum e^{\beta_i} + k = 0$
donde k es un entero $> 0$ ($\neq 0$ dado que el término $1...1$ existe)
Ahora definir
$f(x) = c^sx^{p-1}\frac{[\theta(x)]^p}{(p-1)!}$
donde $s = rp-1$ $p$ será determinado más adelante.
Definir:
$F(x) = f(x) + f'(x) +...+f^{(s+p)}(x)$
A continuación,
$\frac{d}{dx}[e^{-x}F(x)] = - e^{-x}f(x)$
Por lo tanto, tenemos
$e^{-x}F(x) - F(0) = - \int\limits_{0}^{x}e^{-y}f(y)dy$
Poner a $y = \lambda x$ tenemos
$F(x) - e^xF(0) = -x \int\limits_{0}^{1}e^{(1-\lambda)x}f(\lambda x)d\lambda$
Deje $x$ sobre el $\beta_i$ y suma. Desde $\sum e^{\beta_i} + k = 0$ tenemos
$\sum\limits_{j = 1}^{r} F(\beta_j) + kF(0) = - \sum\limits_{j=1}^{r} \beta_j \int\limits_{0}^{1} e^{(1-\lambda)\beta_j} f(\lambda \beta_j)d\lambda$
RECLAMO lo suficientemente grande como Para $p$ la mano izquierda es el tamaño de un entero distinto de cero.
$\sum\limits_{j=1}^{r} f^{(t)}(\beta_j) = 0$ $(0 < t < p)$ por definición de $f$. Cada una de las derivadas de orden p o más tiene un factor de $p$ y un factor de $c^s$, ya que debemos diferenciar $[\theta(x)]^p$ de las veces suficientes como para no conseguir $0$. Y $f^{(t)}(\beta_j)$ es un polinomio en a $\beta_j$ de grado en la mayoría de las $s$. El que es simétrica, por lo que en un entero con tal de que cada coeficiente es divisible por $c^s$, que lo es. (simétrica funciones son polinomios de coeficientes de $=$ polinomios en $\frac{c_i}{c}$ grado $\leq s$). Así tenemos,
$\sum\limits_{j=1}^r f^{(t)}(\beta_j) = pk_t$
$t = p,...,p+s$
Por lo tanto, el lado izquierdo $LHS=$ (integer) = $kF(0).$ Lo $F(0)?$
$f^{(t)}(0) = 0$ $t = 0, ...,p-2$
$f^{(p-1)}(0) = c^sc_r^p$ $(c_r \neq 0)$
$f^{(t)}(0) = p$(un número entero) $t = p, p+1,...$
Por eso, $LHS$ es un múltiplo entero de $p+c^sc_r^pk$. Esto no es divisible por $p$ si $p > k, c, c_r$. Así que es un entero distinto de cero. Pero el lado derecho tiende a $0$$p \rightarrow \infty$, y de este modo obtenemos una contradicción y por lo tanto $\pi$ es trascendental.
