Why

Question

Estoy leyendo un libro y dice:

Que $\Omega=\Omega-\cup\Omega+$. Definir $X(\Omega)=H^1(\Omega)\cap H^2(\Omega-)\cap H^2(\Omega+)$. Entonces por el Sobolev incrustar teorema, $X(\Omega)\subset W^1_p(\Omega)$, para cualquier $p>2$.

Entiendo que $H^2(\Omega_\pm)\subset W^1p(\Omega\pm)$, para cualquier $p>2$ sigue de Sobolev incrustar teorema. Pero ¿cómo es que la declaración para el dominio entero $\Omega$? (desde $W^1_p(\Omega)\subset H^1(\Omega),\forall p>2$).

Cualquier ayuda es apreciada. Gracias.

Answer 1

$f\in H^1(\Omega)$, Ya sabes que el % de derivados débiles $f\alpha := \partial^\alpha f$existen en todos los $\Omega$. Por lo tanto, sólo necesita mostrar $f\alpha \in L^p(\Omega)$. Para ello, basta para mostrar (¿por qué?) $f\alpha \in L^p(\Omega1)$ y $f\alpha \in L^p(\Omega_2)$, que sigue (al parecer) de Sobolev incrustación.