Una desigualdad sobre una secuencia

Question

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia tal que $a_0=1 , a_1=2 , a_{n+1}=a_n+\dfrac {a_{n-1}}{1+ a_{n-1}^2} , \forall n \ge1 $ Entonces, ¿es cierto que $52 < a_{1371} < 65$ ?

$ EDIT:-$ Estoy planteando otra pregunta , por lo que no puedo aceptar la respuesta tan correcta de Oleg567 :

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia tal que $a_0=1 , a_1=2 , a_{n+1}=a_n+\dfrac {a_{n-1}}{1+ (a_n-1)^2} , \forall n \ge1 $ Entonces, ¿es cierto que $52 < a_{1371} < 65$ ?

Answer 1

En primer lugar, observe que la siguiente relación recurrente es verdadera para la secuencia $(a_n)$ :

$$ a_0=1,\\ a_{n+1} = a_n+\frac{1}{a_n}, \qquad n\ge 0.\tag{1} $$

Sí, $a_0=1$ , $a_1 = 1+\frac{1}{1}=2$ para ambas definiciones; si $a_{n+1}$ se define por $(1)$ entonces $$ a_{n+1} = a_n+\dfrac{1}{a_n} = a_n + \dfrac{1}{a_{n-1}+\frac{1}{a_{n+1}}} = a_n + \dfrac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2}, \qquad n\ge 1.\tag{2} $$

---

Hmm, bonita fórmula recurrente como fracción continua finita: $$ a_{n+1} = a_n+\cfrac{1}{a_{n-1}+\cfrac{1}{a_{n-2}+\cfrac{1}{\cdots + \cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_0+1}}}}}\tag{3} $$

---

Mirando $(1)$ se puede demostrar que $$ \sqrt{2n}<a_{n-1}<\sqrt{\left(2+\frac{1}{6}\right)n}, \qquad n\ge 3.\tag{4} $$ Prueba de $(4)$ es aquí .

---

Para $a_{1371}$ nos encontramos con que: $$ 52<52.383\approx\sqrt{2744}<a_{1371}<\sqrt{2972\frac{2}{3}}\approx 54.522<65.$$

Nota: mirando a los límites $52$ y $65$ Creo que hay suficiente para demostrar que es más débil (que $(4)$ ) desigualdad: sólo que $$ \sqrt{2n}<a_{n-1}<\sqrt{3n},\qquad n\ge 3.\tag{5} $$