Ecuación diferencial

Question

Estoy empezando con

$$\frac{dy}{dt}=y(1-y)$$

Entonces tomar los pasos obvios.

$$\int\left(\frac1y+\frac1{1-y}\right)dy=t+C\\ln|y|+\ln|1-y|=t+C\\ln(|y||1-y|)=t+C\\sqrt{y^2}\sqrt{(1-y)^2}=Ce^t\\sqrt{y^2(1-y)^2}=Ce^t\y^2(1-y)^2=Ce^{2t}\y^2-2y^3+y^4=Ce^{2t}$$

Estoy atrapado aquí, para encontrar una solución explícita.

Answer 1

Pasando de la línea 2 a línea 3, debe tener un signo menos, por lo que debe ser $$\ln|y|-\ln|1-y|=t+C \iff \ln \left| \frac{y}{1-y}\right|=t+C \iff \frac{y}{1-y}=e^{t+C}$ $ $$\iff\frac{y}{1-y}=Ae^t$$ (letting $A = e ^ C$) $$\iff y=Ae^t-Aye^t \iff y+Aye^t=Ae^t \iff y[1+Ae^t]=Ae^t$ $

$$\iff \boxed{y=\frac{Ae^t}{1+Ae^t}}$$

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También, se puede dividir por $A$ obtener $y=\frac{e^t}{\left(\frac{1}{A}\right)+e^t}$ y $B=\frac{1}{A}$ a $$\boxed{y=\frac{e^t}{B+e^t}},$ $ pero esto es sólo una cuestión de preferencia personal.