Encuentre el resto de un número cuando se divide entre$9$

Question

Encuentra el resto cuando el número$$1234567891011121314151617\ldots200820092010$$ is divided by $ 9 $. Muestra tu trabajo.

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Ni siquiera sé por dónde empezar. ¿Hay un truco subyacente para encontrar el resto de un número después de haber sido dividido entre$9$? Además, ¿cómo podemos encontrar el resto cuando el número es tan grande ...

Este fue un problema de desafío. Lo que significa que no aprendí esto en clase.

Answer 1

Insinuación : $\sum a_k\times10^k\equiv\sum a_k \pmod {9}$

Answer 2

La suma de$9$ enteros consecutivos es divisible por$9$, por lo tanto \begin{align*}123456789101112\dots200820092010\bmod 9&=\sum_{n=1}^{2010} n\bmod9=\sum_{n=1}^{223\times 9} n\bmod9+\!\!\!\sum_{n=2008}^{2010}\!\!n\\ &=2008\bmod 9+2009\bmod9+2010\bmod9=\color{red}{6}. \end {align *}

Answer 3

Sugerencia: el número de $ac=10a+c $ es igual a $ac=10a+c=(9+1)a+c=9a +(a+c) $ $ac =10a+c$ dividido por 9, será el mismo que el resto como $a+c$ dividido por 9.

Esto es suponiendo que usted sepa la escuela primaria truco que un número es divisible por 9 si y sólo si la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Y a continuación, se supone que te das cuenta de que eso significa que el divisor cuando se divide por 9 va a tener el mismo divisor como la suma de los dígitos dividido por 9. Que podemos averiguar mediante la adición de los dígitos.

En última instancia, el divisor es exactamente igual a la suma de la suma de la suma de .... los dígitos.

Para sumar los números 1+2+3+4...... que es larga, pero jugar con él y ver si usted puede encontrar atajos. Ejemplo: si 2+7=9, eventualmente, en un futuro paso que va a querer el resto después de dividir por 9 así que va a ser 0. Así que usted puede lanzar cualquier a+b=9. Seguir jugando y ver qué pasa.

Ahora... que son simplemente tomar la palabra de un desconocido en Internet que el resto cuando se divide por 9 es la misma cosa que la suma de los dígitos. Jugar con él y tratar de convencerse a sí mismo de que es verdadero.

Sugerencia: el número de ca es de 10a + c. 10 es (9+1) entonces ac=10a + c = 9a + (a+c). Así de ca y+c tendrá el mismo divisor cuando se divide por 9.

Answer 4

Su número tiene el mismo resto cuando se divide entre$9$ como$(1 + 2010) + (2 + 2009) + ... + (1005+1006)$$= 2011 * 1005$. Este número tiene el mismo resto que$4*6$ cuando lo dividimos entre$9$, es decir,$6$.