Es $1$ elevado a cualquier potencia compleja igual a $1$ ?

Question

Acabo de ver una solución que dice que es ya que, para cualquier número complejo $z$

$$1^z = e^{z\log1} = e^{z(0)} = 1$$

Sin embargo, ¿no es esto sólo cierto para la rama principal de $1^z$ ya que, por definición, (dejando que la mayúscula L denote el valor del principio de log

$$\log1 = \operatorname{Log}1 + i2\pi k$$

para cualquier $k \in \mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Tienes razón: $1$ no es el único valor de $1^z$ si $z$ no es un número entero. Por ejemplo, $-1$ es también uno de los valores de $1^{1/2}$ . En general, los posibles valores de $1^z$ son $e^{2 \pi i n z}$ para los enteros $n$ .