Qué $q$ hace que esta integral $\int _0 ^\infty \frac { \sin (x ^q ) } { x } \, dx$ ¿converger?

Question

El problema me pregunta qué número real $q$ hace que la integral

$$\int _0 ^\infty \frac { \sin (x ^q ) } { x } \, dx$$

converge.

Utilizando la integral por partes demostré que la integral converge para todo $q > 0$ (No estoy muy seguro de mis pruebas). Y creo que la integral no converge si $q \le 0 $ . Pero tengo problemas para mostrar esto. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

• Supongamos que $q>0$ .

  Entonces, por el cambio de variable $u=x^q$ tenemos $\log u =q \log x$ así $\dfrac{du}u=q\:\dfrac{dx}x$ encontramos que $$ \int_0^\infty \frac{\sin(x^q)}{x}\, dx=\frac1q\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\, du=\frac1q\int_0^\infty \frac{1-\cos u}{u^2}\, du $$ donde hemos integrado por partes en el último paso, la última integral converge .

• Supongamos que $q<0$ .

  Entonces, por el cambio de variable $u=x^q$ tenemos $\log u =q \log x$ así $\dfrac{du}u=q\:\dfrac{dx}x$ encontramos que $$ \int_0^\infty \frac{\sin(x^q)}{x}\, dx=-\frac1q\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\, du=-\frac1q\int_0^\infty \frac{1-\cos u}{u^2}\, du $$ donde hemos integrado por partes en el último paso, la última integral converge .

• Supongamos que $q=0$ . Entonces la integral inicial diverge .

Nota: . Los dos primeros casos pueden tratarse al mismo tiempo.