¿Puede$11^{13}-1$ dividirse exactamente por 6?

Question

¿$11^{13}-1$ Divisible exactamente por 6?

Mi solución: $$11^2 \equiv 1 \pmod 6$ $ $$11^{12} \equiv 1 \pmod 6$ $ $$11^{13} \equiv 5 \pmod 6 $ $

Por lo tanto, $(11^{13}-\mathbf{5})$ se puede dividir exactamente por 6. Sin embargo, según la solución en mi libro, ($11^{13}-\mathbf{1}$) se puede dividir exactamente por 6. ¿Qué pasa?

Answer 1

Ya no es divisible por $ 3 $; Observe que \begin{align} 11^{13} - 1 &\equiv (-1)^{13} - 1 \ &\equiv -1 - 1 \ &\equiv -2 \ &\equiv 1 \ &\not\equiv 0 \, (\text{mod} \, 3). \end {alinee el}

Nota $ 11 \equiv 2 \equiv -1 \, (\text{mod} \, 3) $.

Answer 2

Asumir era divisible por $11^{13}-1$ $6$, entonces tendríamos $$11^{13}-1\equiv 0\pmod 6.$ $ % en otras palabras, $11^{13}\equiv 1$. Sin embargo, por su cómputo $11^{13}\equiv 5$, esto es una contradicción porque % no son congruentes modulo $1$ $5$y $6$. Por lo tanto, es $11^{13}-1$ no divisible por $6$.

Answer 3

Como $\frac {11}{6} $ da resto de $5$ o $-1$ . tomamos $-1$, ya que alivia nuestro cálculo .

1) $ \frac{11^{13}}6 $ da resto $-1$ .

2) $ \frac{1}6 $ da resto 1

ENCONTRAR : RESULTADO $1$ - RESULTADO DE LA $2$

$-1 -1 = -2$ que es igual a $4 $ $6-2 =4$

Así que el resto es $4$ . Esto significa que es definitivamente NO es DIVISIBLE por 6 .

.Usted puede comprobar sus respuestas en uno de los sitios más confiables : wolframalpha , donde se puede hacer tal cálculo de la participación de grandes números . He hecho lo siguiente para usted en el enlace de más abajo . http://www.wolframalpha.com/input/?i=11%5E13%E2%88%921+mod+6

Incluso calculadoras científicas en equipos realizar, mod operación de números tan grandes con facilidad .

Estos computación sitios dan la confianza en nuestro cálculo.