Cómo calcular la integral $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx$ ?

Question

Sí, sé que esto es muy similar a $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx$ , que se ha respondido un millón de veces, pero sigo sin saber cómo aplicar la técnica de esa integración a la mía.

No quiero hacer esto usando coordenadas polares, o "erf". Me gustaría utilizar la función Gamma (que supongo que es posible..).

¿Es esto correcto? :

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx=2\int_{0}^\infty e^{-x^2/2}\,dx$$

Dejemos que $u = x^2/2 \implies x = \sqrt{2u}$ , $du = x \, dx \implies dx = (2u)^{-1/2}$

Así que,

$$=2\int_{0}^\infty (2u)^{-1/2}e^{-u}\,dx=\sqrt{2}\int_0^\infty (u)^{-1/2}e^{-u}\,dx=\sqrt{2} \Gamma(1/2)= \sqrt{2\pi}$$

Answer 1

$$ =2\int_{0}^\infty (2u)^{-1/2}e^{-u}\underbrace{\,dx\,}_{\text{error}}=\sqrt{2}\int_0^\infty (u)^{-1/2}e^{-u}\,dx=\sqrt{2} \Gamma(1/2)= \sqrt{2\pi} $$ Si pones $du$ donde $dx$ es, entonces es correcto. Donde usted escribió $dx = (2u)^{-1/2}$ , necesitas $dx=(2u)^{-1/2}\,du$ .

Si sólo se trata de reducir la integral $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\, dx$ a la integral $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx$ se puede hacer de la siguiente manera: \begin {align} u & = \frac x { \sqrt {2}} \\ [8pt] u^2 & = \frac {x^2}2 \\ [8pt] du & = \frac {dx}{ \sqrt {2}} \\ [8pt] \sqrt {2}\N-,du & = dx \\ [8pt] \int e^{-x^2/2}\\N- dx & = \int e^{-u^2} \sqrt 2\,du = \sqrt 2 \int e^{-u^2}\N- du. \end {align} Entonces note que como $x$ va de $-\infty$ a $+\infty$ También lo hace $u$ ya que $1/\sqrt 2$ es positivo. Usted obtiene $$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt 2 \int_{-\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt 2\sqrt \pi. $$

Answer 2

En realidad, se puede utilizar la expresión de la suma para $e^{-x^2}$ . De este modo, podrás obtener la función que desees y, a continuación, podrás integrarla.