Cuadrado de la función de la distancia

Question

Estoy confundido acerca de un determinado tipo de problema.

Me enseñaron que al solucionar un punto sobre un plano (debe usar derivadas parciales) decir, $x+y+z=1$ que es la más cercana al origen, para reducir al mínimo el cuadrado de la función de la distancia, es decir, minimizar la $f(x,y)=x^2+y^2+z^2$.

Pero no entiendo la intuición de por qué hacemos esto. ¿Cómo podríamos saber que debemos minimizar el cuadrado de la fórmula de distancia y no sólo la fórmula de la distancia sí mismo?

Gracias

Answer 1

Si se minimiza el cuadrado de la función de la distancia, se minimiza la función de la distancia. Y el cuadrado de la función de la distancia es más fácil trabajar con, ya que no tiene esa raíz cuadrada molesto en él.

Para prueba, para la función de la distancia al mínimo, necesita el derivado con respecto a cada coordenada a cero. Así $$\frac{\partial d}{\partial x}=0$ $ pero $ #% de$$ \frac{\partial (d^2)}{\partial x}=2d\frac{\partial d}{\partial x}$% #%, el derivado de la Plaza será cero iff el derivado de la distancia es cero.

Answer 2

Si usted está encontrando las raíces de derivados % de una función $f'(x)$, el # de $x$-valores de las raíces se coincide con los de $g'(f(x))$ si $g$ es estrictamente monótona (sobre el dominio de interés).

¿Puede demostrarlo?

Answer 3

Supongamos que estamos tratando de encontrar el punto de $(x_0,y_0,z_0)$ que minimiza $h(f(x,y,z))$ donde $h$ es estrictamente una función creciente. Esto significa $h(x) < h(y)$ si $x < y$.

Si $(x_0,y_0,z_0)$ minimiza $f$, $f(x_0,y_0,z_0) \le f(x,y,z)$ todos los $(x,y,z)$. Desde $h$ es una función creciente, esto significa:

$$h(f(x_0,y_0,z_0)) \le h(f(x,y,z)).$$

Por lo tanto, si encontramos el punto que minimiza $f$ encontramos el punto que minimiza $h\circ f$.

Esto es particularmente útil en este caso, ya que significa que no tenga que preocuparse de tomar la derivada de una función de raíz cuadrada y la aplicación de la regla de la cadena.