La prueba de que $\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^2} <2$

Question

Sé cómo probar que

$$\sum_1^{\infty} \frac{1}{n^2}<2$$ porque

$$\sum_1^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}<2$$

Pero yo quería demostrar que el uso de sólo las desigualdades. Es allí una manera de hacerlo? Puede usted pensar en una desigualdad tal que usted puede calcular el límite de ambos lados, y el límite del lado derecho es $2$?

Hay un buen libro acerca de las desigualdades que ayuda a demostrar que una suma es menor que una cantidad determinada?

Esta no es una tarea problema, es un auto que plantea el problema de que yo estaba pensando :)

Answer 1

Sugerencia:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} < 1+ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}dx $$

Answer 2

Sugerencia: para $n \geq 2$, $$ \frac 1{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)} = \frac1{n-1} - \frac 1n $$

Answer 3

Puede utilizar la inducción para demostrar la desigualdad

$1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} \leq 2-\frac{1}{n}$ $n \geq 1$ , es decir,$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2} \leq 2 - \frac{1}{n}\to 2$$n\to\infty$.

Este corto de la prueba, sin embargo, sólo demuestra la más débil de la declaración de $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \leq 2$.

Answer 4

Todavía otra prueba: $$\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}\le \sum_{k\ge 0}\frac{2^{(k+1)}-2^k}{2^{2k}}=\sum_{k\ge 0}\frac{1}{2^k}=2$$

Answer 5

$$\zeta(2)=\frac{5}{4}+\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\leq\frac{5}{4}+4\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{5}{4}+\frac{2}{5}=\frac{33}{20}.$$