Integral encontrada en un problema de física

Question

Mi pregunta es técnicamente una pregunta matemática que surgió en el contexto de un problema de física. En concreto, surgió en un cálculo de perturbación para un gas de electrones bidimensional. Resumiendo, la integral es $$\int_{k'<k_F}\int_{k<k_F}\frac{d^2\mathbf{k}\,d^2\mathbf{k}'}{|\mathbf{k}-\mathbf{k}'|}$$ y no estoy seguro de cómo evaluar esto. Para mayor claridad, estas integrales son sobre la Esfera de Fermi 2D (es decir, el disco de Fermi) con radio $k_F$ .

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Para los curiosos del contexto físico, la situación en la que apareció esto es un gas de electrones bidimensional (sin ignorar el espín) con un $1/r$ interacción de dos cuerpos. Escribiendo el potencial $V(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) = A/|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|$ resulta que el operador de interacción puede escribirse en forma cuantificada como $$ \frac{1}{2}\sum_{i\neq j}V(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) = \frac{1}{2}\sum_{\substack{\mathbf{k},\mathbf{k}',\mathbf{q} \\ s,s'}}V_\mathbf{q} c_{\mathbf{k}-\mathbf{q},s}^\dagger c_{\mathbf{k}'+\mathbf{q},s'}^\dagger c_{\mathbf{k'},s'}c_{\mathbf{k},s} $$ donde el $c$ y $c^\dagger$ son los operadores de aniquilación y creación para el estado indicado en su subíndice. La suma es sobre los momentos y espines permitidos. Los elementos de la matriz son $$ V_\mathbf{q} = \frac{1}{\Omega}\int_{\mathbb{R}^2} V(\mathbf{r}) e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}\,d^2\mathbf{r} = \frac{2\pi A}{\Omega q}. $$ donde $\Omega$ es el área de la caja que contiene el gas.

Ignorando el término de dispersión directa $\mathbf{q}=0$ (se está compensando de una manera similar a la de Jellium), deseamos evaluar el intercambio ( $\mathbf{q}=\mathbf{k}-\mathbf{k}'$ ) desplazamiento de energía hacia el estado básico $$ E_\text{ex} = \frac{\pi A}{\Omega}\sum \frac{1}{|\mathbf{k}-\mathbf{k}'|} $$ donde esta suma procede sólo sobre los estados ocupados con el mismo espín. Tomando el límite del continuo se llega a la integral en cuestión.

Hay más detalles sobre el espín y una magnetización neta real, pero son irrelevantes para la integral que necesito resolver.

Originalmente iba a publicar esto en Physics Stackexchange, pero pensé que ya que se reduce a una pregunta de matemáticas, alguien aquí podría ser capaz de ayudar.

Gracias de antemano por cualquier consejo que pueda ofrecer.

Answer 1

Dejemos que $k = (r_1\cos\theta_1,r_1\sin\theta_1), k' = (r_2\cos\theta_2,r_2\sin\theta_2)$ .

En la convención de los físicos, la integral que queremos evaluar tiene la forma

$$\mathcal{I} \stackrel{def}{=} \int_0^{k_F} r_1 d r_1 \int_0^{k_F}r_2 dr_2 \int_0^{2\pi} d\theta_1 \int_0^{2\pi} d\theta_2 \frac{1}{ \sqrt{r_1^2+r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1)}} $$ Dejemos que $r = \max(r_1,r_2)$ , $\displaystyle\;\lambda = \frac{\min(r_1,r_2)}{\max(r_1,r_2)}$ , $\phi = \theta_2 - \theta_1 + \pi$ . Sea $x = \lambda\cos\phi$ , $y = \lambda\sin\phi$ .

Cambiar la variable de $r_1, r_2, \theta_1, \theta_2$ primero en $r, \lambda, \theta_1, \phi$ y luego a $r, \theta_1, x,y$ tenemos

$$\begin{align} \mathcal{I} &= 2\int_0^{k_F} r dr \int_0^1 r^2\lambda d\lambda \int_0^{2\pi}d\theta_1\int_0^{2\pi}d\phi\frac{1}{r\sqrt{1+\lambda^2+2\lambda\cos\phi}}\\ &= 2\left(\int_0^{k_F}r^2dr\right) \left(\int_0^{2\pi} d\theta_1\right)\int_0^1 \lambda d\lambda \int_0^{2\pi}d\phi\frac{1}{\sqrt{(\lambda\cos\phi + 1)^2 + (\lambda\sin\phi)^2}}\\ &= \frac{4\pi}{3}k_F^3\int_{x^2+y^2\le 1}\frac{dxdy}{\sqrt{(x+1)^2+y^2}} \end{align} $$ Introducir la coordenada "polar" $(\rho,\psi)$ centrado en $(-1,0)$ es decir $(x,y) = (-1+\rho\cos\psi,\rho\sin\psi)$ .
Podemos evaluar la integral en la última línea como

$$\int_{x^2+y^2\le 1}\frac{dxdy}{\sqrt{(x+1)^2+y^2}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\psi} \frac{\rho d\rho d\psi}{\rho} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\cos\psi d\psi = 4$$ Como resultado, $\displaystyle\;\mathcal{I} = \frac{16\pi}{3} k_F^3$ .