¿Cuál es el número esperado de veces que aparece la frase en la oración?

Question

Crear una frase al azar de la longitud n escogiendo repetidamente palabras al azar del vocabulario {a, es, no, rosa}, con cada palabra igual probabilidad de ser escogido. ¿Cuál es el número esperado de veces que la frase "una rosa es una rosa" aparece en la oración?

Answer 1

Supongo que la frase es $S = w_1w_2\cdots w_n$. Definir variables aleatorias $X_i$ $1 \leq i \leq n - 4$ $$ X_i =\begin{cases} 1 & \text{ if }\ wiw{i+1}\cdots w{i+4} = \text{"a rose is a rose"} \ 0 & \text { otherwise } \end{casos} $$ el número de "una rosa es una rosa" en $S$ es por lo tanto $$ X = \sum{i=1}^{n-4} Xi $$ así $ \mathbb{E}[X] = \sum{i=1}^{n-4} \mathbb{E}[X_i] = \cdot \frac{1}{4^5 (n-4)} $