¿Cómo poner aproximadamente puntos de equidistan en la superficie de una esfera, cada uno con 4 vecinos?

Question

Decir que me quieres jugar a un juego como Ir o Ir Bang o el Ajedrez en la superficie de una esfera (véase aquí para una pregunta acerca de ejemplos).

La cuadrícula en la esfera debe tener las siguientes características:

• todos los nodos más o menos equidistante

• cada nodo conectado a cuatro vecinos

• las conexiones no se cortan

He intentado de todo con la construcción de un grid mediante la adición de nodos en los bordes de un octaedro, o por la adición de nodos a un bucky-ball como cuadrícula, ambos no funcionan.

Answer 1

Un cálculo rápido el uso de Euler $V-E+F=2$, y el hecho de que desde cada arista une dos vértices y tenemos cuatro bordes de cada vértice, $E=2V$ da $F-V=2$, es decir que hay dos más caras de los vértices.

Ahora supongamos que hay $f_r$ caras con $r$ vértices. Sabemos que cada vértice colinda con 4 caras, de modo que $$\sum_{r=2}^\infty rf_r=4V=4F-8$$

Ahora desde $F=\sum f_r$ podemos reescribir esto como $$\sum(r-4)f_r=-8$$

Si nosotros no permitir caras con dos lados tenemos $$-f_3+f_5+2f_6+3f_7+\dots=-8$$

De modo que podemos tener como muchos cuadrilátero caras como nos gusta (cuentan cero a la suma), pero necesitamos al menos ocho triángulos, y por cada cara, con más de $4$ lados necesitamos más triángulos.

Entonces usted tiene que trabajar con esta restricción. Usted podría, por ejemplo poner pirámides en dos lados opuestos de un cubo. Entonces usted podría dividir a los otros lados por la mitad a lo largo de la "línea ecuatorial". Usted puede seguir cortando rebanadas fuera el cubo como el tiempo que quieras.

Esto no da una respuesta completa, pero sí sugieren algunas maneras de ir.

Nota: Cuando usted tiene tres aristas de encuentro en cada vértice, usted puede simplemente cortar esquinas. Pero esa no es una opción aquí - usted necesita para mantener las esquinas y añadir bordes/vértices donde el corte se vaya. Así que otra construcción sería dibujar los bordes de la ronda de cada uno de los vértices de un octaedro para obtener aproximadamente igual al espaciamiento de los vértices. A continuación, los bordes alrededor de los vértices de la figura resultante, etc.

Answer 2

He encontrado una forma de hacerlo yo mismo: me tomé una bola hueca-como la estructura, la red se compone de hexágonos que están rodeados por (alternando) hexágonos y pentágonos, para que puedan compartir sus lados. Ahora, si me definen cada arista compartida de hexágonos como un nodo, cada nuevo nodo está conectado a cuatro vecinos.La cosa entera se ve como triángulos, cada nodo es una esquina de dos triángulos y están distribuidos de tal manera que cinco triángulos forman un círculo. Esta cuadrícula satisface todas mis condiciones forrado fuera aboce, como fas, como yo lo veo.

Dejo abierta la pregunta, porque puede haber otras formas, e incluso si no alguien puede proporcionar una respuesta más clara, o uno más general.

Editar para agregar: esta red no cumple con todos los requisitos -, mientras que todos los bordes son de la misma longitud, hay enormes con forma de pentágono agujeros entre, por lo que uno podría argumentar que los nodos no son equidistantes.