Supongamos que tenemos una secuencia $x_n = (\frac{1}{n})$ y queremos encontrar $$\lim_{n \to \infty} x_n = \ ?$$ por la definición de límite.
Claramente, el límite es $0$ pero si no fuéramos capaces de determinar esto por intuición (como es el caso de las secuencias más complejas), ¿hay alguna manera de encontrar que el límite de esta secuencia es $0$ utilizando la definición de límite? ¿O la única opción es hacer una conjetura e intentar demostrarla utilizando la definición?
Se podría decir que cualquier intento de demostrar la convergencia fracasa si se asume cualquier otro límite que no sea $0$ . Pero en cierto modo no se puede determinar un límite en general sin recurrir a conjeturas, aunque este concepto apenas puede formalizarse. Intentemos algunos ejemplos y usted decide si se puede determinar o tiene que adivinar el límite:
Consideremos la secuencia de Fibonacci $F_0=0$ , $F_1=1$ , $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ . ¿Qué pasa con $\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1+\sqrt 5}2$ ?
¿Qué pasa con $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ ?
Para ampliar el ejemplo anterior, ¿por qué sabemos que $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3}$ ¿es realmente mejor que calcular una suma parcial con más o menos sumandos?
En una dirección similar, los límites como $\lim_{n\to\infty}(\ln n-\sum_{k=1}^n\frac1k)$ existen, pero en realidad se utilizan para definir nuevas constantes, ya que de otro modo no se conoce la forma de "obtener" el valor.
Aquí está mi intento de hacerlo un poco más riguroso:
Primera nota: 1/1 > 1/2,
En general, dado 1/n, nota (donde n es un número entero positivo):
n + 1 > n
1/(n+1) < 1/n
Por inducción, ahora que cada término de esta secuencia es de menor magnitud que el término anterior.
Sin embargo, no hemos demostrado que el límite sea cero, ya que hay muchas secuencias, por ejemplo 2^(1/n), para las que se cumpliría la inducción anterior pero para las que la secuencia no se aproxima a 0.
En este caso, el límite de 1/n se puede encontrar analizando el límite de la secuencia "n". Esto se debe a que, si una secuencia diverge cuando se toma en el infinito, también llegamos a saber algo sobre su recíproco, es decir, debe estar convergiendo a un valor muy específico: 0.
Para justificar aún más, observe una secuencia definida por la serie convergente K. Evidentemente, la adición de cada término consecutivo a la serie aumenta la magnitud de la suma en una parte constantemente decreciente, sin embargo, la tasa de disminución se establece de manera que existe un límite (considere la serie para 2^(1/x) y aplique las leyes de las series geométricas para encontrar el límite) . Como este límite toma la forma de un número que podemos denotar por m, su recíproco debe existir (esto se basa en el axioma de los elementos inversos). Por lo tanto, el recíproco 1/m tiene un valor definido (determinable o no).
Sin embargo, en el caso de una sucesión divergente, es decir, como la de los números naturales (cuya divergencia se basa en el hecho de que la sucesión de los números naturales puede definirse mediante una serie aritmética, de modo que la diferencia entre cada término consecutivo, en virtud de la definición, es constante), no existe un límite superior para el elemento más alto n, ya que en este caso, el número n + 1, que puede demostrarse que es un miembro de esta sucesión por recursión, sería mayor que n.
Así, por el mismo paso con los recíprocos, ningún término 1/n (donde n es un elemento de los números naturales) será el miembro más pequeño de su secuencia. Sin embargo, está claro que cualquier límite de magnitud, por ejemplo, encontrar un 1/k más pequeño que 5^(-43544), puede satisfacerse considerando algo como 1/(1+5^43544). Por lo tanto, ninguna cota de magnitud será la cota mínima, por muy grande que sea el denominador; así que, finalmente, la magnitud de esta sucesión, al no converger a un número distinto de 0 (de lo contrario, habría una cota de magnitud), debe ir bien nada . La idea es que las magnitudes se hacen cada vez más pequeñas, y bueno, la magnitud más pequeña a la que nos acercaríamos si siguiéramos haciendo esto durante un tiempo infinitamente largo, sería la "nada", el propio 0.
Alternativamente, podemos definir el límite en el infinito como la magnitud a la que la secuencia se acercará, pero nunca alcanzará, en condiciones finitas. Entonces, como cualquier límite positivo arbitrario (digamos menor que 1) puede satisfacerse en con un número finito de recurrencias, el límite último que no puede satisfacerse finitamente debe ser el propio 0. Por lo tanto, el límite es 0.
Creo que el verdadero objetivo de cualquier "justificación" sería demostrar que, efectivamente, 1/n no converge a un número real positivo distinto de cero.
¡Que tengas un buen día! :)
Buena pregunta. Para responderla, creo que ayudará observar que la definición básica aquí es "convergencia", en lugar de "límite":
(1) la secuencia $\{x_n : n\in \mathbb{N}\}$ converge a $L$ si...
donde el "..." es una propiedad particular de la secuencia $\{x_n: n\in \mathbb{N}\}$ y el número $L$ .
Entonces se puede demostrar que una secuencia dada converge como máximo a un valor. Entonces se define "secuencia convergente", y finalmente se define el límite de una secuencia convergente: "Si $\{x_n: n\in \mathbb{N}\}$ es una secuencia convergente entonces su límite es el valor único de $L$ que satisface (1)".
Sólo después de estableciendo todo esto podemos volver a escribir la definición (1) para decir
(2) el límite de la secuencia $\{x_n : n\in \mathbb{N}\}$ es $L$ si...
Sin embargo, nótese que (2) no puede servir como definición básica en lugar de (1) porque, aunque a primera vista parece estar redactada como una definición de "límite", no está claro a priori que resulta en una noción bien definida.
Ahora mi punto es que para verificar algún hecho sobre los límites a partir de las definiciones anteriores, la definición básica que necesita ser verificada es la de convergencia. Como la convergencia se aplica a pares de objetos (la secuencia $\{x_n : n\in \mathbb{N}\}$ y el número $L$ ,) si quiere verificarlo, entonces tiene que suministrar estos dos objetos. Es de suponer que la secuencia $\{x_n : n\in \mathbb{N}\}$ proviene del problema en cuestión. Dependiendo de la situación, el límite $L$ puede venir de tu intuición, de una conjetura o de la conclusión de algún teorema. Pero no se puede esperar que salga de la definición de convergencia. Más bien, tendría más sentido pensar en ella como una de las entradas a la definición.
Nótese que pasar de la definición (1) a la definición (2) no cambia esto; todo lo que hemos hecho es reformular un poco las cosas, así que todavía no podemos esperar que esto nos dé un procedimiento mecánico útil que tome una descripción de una secuencia como entrada y dé una descripción simple de su límite (si existe) como salida. (Por supuesto, podríamos utilizar el procedimiento de "prueba y error" de comprobar si varios valores de $L$ satisfacer la definición, que, aunque sea mecánica, es poco útil).
No pretendo tener probado que no existe tal procedimiento mecánico; la noción de que encontrar los límites es difícil proviene más bien de la experiencia. Pero espero que esta respuesta dé alguna explicación de por qué no debemos esperar que tal procedimiento surja de las definiciones.
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