Intersección de un cono y una esfera

Question

Demuestre que a el cono $xy + yz + xz = 0$ corta la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ en dos círculos iguales y encuentra su área.

He intentado sustituir una de las variables, por ejemplo $z$ de la ecuación del cono y ponerlo en la esfera; sin embargo, esto parece un enfoque incorrecto. ¿Podría alguien ayudarme con esto?

Answer 1

El vértice del cono está en el origen, por lo que definitivamente interseca la esfera centrada en el origen en círculos iguales.

Tenga en cuenta que el cono contiene los ejes de coordenadas. (Basta con poner a cero dos variables cualesquiera y ver que la última puede ser arbitraria). En consecuencia, se encuentra con la esfera en los puntos $(\pm r, 0, 0)$ , $(0, \pm r, 0)$ , $(0,0,\pm r)$ , por lo que los círculos de intersección deben ser circunferencias de triángulos equiláteros de lado $r\sqrt{2}$ . Así que...

Answer 2

Yo empezaría con un cambio de variables (transformación ortogonal) para diagonalizar la forma cuadrática $xy + yz + xz$ . Prueba con $u = (x+y+z)/\sqrt{3}$ , $v = (x - y)/\sqrt{2}$ , $w = (x + y - 2 z)/\sqrt{6}$ .