Muestre que$[-a^2]$ genera Subir

Question

Intento mostrar que$[-a^2]$ genera$U_p$, dado que$1<a<p-1$ yp es un primo impar,$p=2q+1$ yq también es un primo impar.

Sé que$[-a^2]$ es una raíz primitiva iff 1.$[-a^2]^{\phi(p)/q}\neq[1]$ y 2.$[-a^2]^{\phi(p)/2}\neq[1]$, Así que estoy tratando de demostrar que 1 y 2 son válidos. ¿Voy en la dirección correcta? 2 es fácil de mostrar, ya que$[-a^{2q}]=[-1]\neq[1]$. Pero, ¿cómo pruebo 1, es decir,$[a^4]\neq1$?

Answer 1

Estás muy a la derecha de la pista, y en un comentario al final la respuesta a su pregunta específica. Pero para la diversión que probar el resultado de contar el argumento. El número de raíces primitivas de $p$$\varphi(p-1)$. Pero $p-1=2q$, e $\varphi(2q)=q-1$.

Por lo que el número de raíces primitivas de $p$$q-1$,$\frac{p-1}{2}-1$. El número de cuadrática no residuos de $p$$\frac{p-1}{2}$. De ello se desprende que cada cuadrática no-residuo de $p$, excepto para uno es una raíz primitiva de $p$.

Tenga en cuenta que $p$ es de la forma $4k+3$, lo $-1$ es una ecuación cuadrática no-residuo de $p$. Es obvio que no es una raíz primitiva de $p$, ya que tiene el fin de $2$.

Por último, se observa que el $-a^2$ no es congruente a $-1$, para que lo fuera, tendríamos $a^2\equiv 1\pmod{p}$, $a=1$ o $a=p-1$, y estos son excluidos en el enunciado del problema.

Nota: Para mostrar que no podemos tener $a^4\equiv 1\pmod{p}$, podemos observar que si $a^4\equiv 1\pmod{p}$ $a^2\equiv 1\pmod{p}$ o $a^2\equiv -1\pmod{p}$. La congruencia $a^2\equiv 1\pmod{p}$ tiene las dos soluciones de la $a\equiv \pm 1$, y estos son excluidos en el problema. Y $a^2\equiv -1\pmod{p}$ es imposible, ya que $p$ es de la forma $4k+3$.