Que $a$, $b$ $c$ ser los tres lados de un triángulo. Mostrar que $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c}\geqslant3$

Question

Que $a$, $b$ $c$ ser los tres lados de un triángulo. Mostrar que $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c}\geqslant3$

Answer 1

$a, b, c$ son lados de un triángulo iff existe reales positivos $x, y, z$s.t. $a=x+y, b=y+z, c = z+x$. En términos de estas variables, la desigualdad es %#% $ #%

Ahora la última es fácil demostrar con AM-GM de todos los términos $$\sum{cyc} \frac{a}{b+c-a} = \sum{cyc} \frac{x+y}{2z} \ge 3$. $6$$

Answer 2

Supongamos que $S>0$. Entonces $x\in(0,S/2)$, la función $f(x)=\frac{x}{S-2x}$ es convexo. Así, por la desigualdad de Jensen y $S=a+b+c$, tenemos \frac{1}{3}f de $$ (a) + \frac {1} {3} f (b) + \frac {1} {3} f (c) \geq f\left (\frac {1} {3} (a + b + c) \right) = \frac {S/3} {S-2S/3} = 1. $$ Esto es equivalente a $f(a)+f(b)+f(c)\geq 3$, que es su desigualdad.