Tengo la siguiente pregunta: si $X$ es una variable aleatoria continua que está uniformemente distribuida en el intervalo de $(1,2)$ cuál es la función de distribución de $Y=X+\frac{2}{X}?$ \ Han intentado calcular la inversa de la función $f(x)=x+\frac{2}{x}$, pero no lograron completar el cálculo. ¿Alguna idea?
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Michael Hardy
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La función de $x\mapsto x + \frac 2 x$ tiene un mínimo en $x=\sqrt 2,$, que está dentro del intervalo de $(1,2),$, por lo que no tiene un inverso en dicho intervalo. Que hace las cosas un poco más complicadas. Una cosa que va a hacer las cosas más simples es que cuando $x={}$ $1$ o $2$$x+ \frac 2 x=3,$, es decir, es la misma en ambos extremos.
Deje $y = x+ \frac 2 x.$ $xy = x^2 + 2,$ o $x^2 - yx + 2 = 0,$ y que es una ecuación cuadrática que puede ser resuelto por $x{:}$ $$ x = \frac {y \pm \sqrt{y^2 - 8}} 2. $$ Desde $x\mapsto x+ \frac 2 x$ es una curva que se abre hacia arriba, usted tiene $y\le{}$número especificado si $x$ está entre dos números.
Por lo tanto $Y\le y$ precisamente si $\dfrac {y - \sqrt{y^2-8}} 2\le X\le\dfrac{y+\sqrt{y^2-8}} 2.$
La probabilidad de assoicated con que intervalo es la diferencia, el mayor menos el menor. Por lo tanto la probabilidad es $\sqrt{y^2-8}.$
Esto funciona para $2\sqrt 2 \le y\le 3,$ desde aquellos que son los más pequeños y los más grandes valores de $y$ al $1<x<2.$
