parcial 1 geometria

Question

Demuestre que en un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es menor o igual que la mitad de la hipotenusa. ¿Bajo qué condición se cumple que la altura sea igual a la mitad de la hipotenusa?

Answer 1

Considera que $a$, $b$ son los catetos y $c$ la hipotenusa. Igualmente $\alpha$ y $\beta$ los ángulos que forman los catetos con la hipotenusa; de tal modo que: $$\alpha+\beta+\frac{p}{2}=p$$

Con tal notación, se hallan los catetos del triángulo rectángulo en función de la altura relativa a la hipotenusa, llamada $h$, y los ángulos respectivos:

$$a=\frac{h}{\sin(\alpha)}$$ $$b=\frac{h}{\sin(\beta)}=\frac{h}{\cos(\alpha)}$$

Donde la relación entre alfa y beta queda marcada por la condicion de triángulo rectángulo. Tras ello, aplicamos el teorema de Pitágoras: la suma del cuadro de los catetos es igual al cuadro de la hipotenusa; obteniéndose

$$h=\frac{c \sin(2\alpha)}{2}$$

este resultado se encuentra tras tener en cuenta dos relaciones trigonométricas básicas: $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$ y $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Igualdades, por cierto, válidas para todo ángulo entre $[0,2p]$.

Para hallar la desigualdad basta con estudiar los extremos y justificar el espectro de valores con ayuda de la continuidad de la función. De este modo: la función seno adquiere como máximo (o mínimo) los valores $\pm 1$, de la misma manera que se anula en $0$; como trabajamos con medidas los valores resultados han de ser siempre positivos por lo que si la altura es $h$, esta es obligadamente mayor o igual a $0$ (positiva) y el caso contrario queda descartado. Por lo que tendremos en cuenta únicamente los valores que toma el seno como $0$ (mínimo por acotación) y $1$ (máximo valor tomado por el seno per se)

entonces, cuando $\sin(2\alpha)=0,\ h=0$; y cuando $\sin(2\alpha)=1, \Longrightarrow h=\frac{c}{2}$. Por continuidad de la función seno, $h$ es también continuo en el intervalo $\left(0, \frac{c}{2}\right)$ siéndo este su dominio; por lo que $0\leq h\leq \frac{c}{2}$. Finalmente, para que se dé la igualdad, es decir, $h=\frac{c}{2}$ el seno de $2\alpha$ ha de valer $1$, algo que se consigue con $2 \alpha=\frac{p}{2}$. Por lo que $\alpha=\frac{p}{4}$; y a través de la igualdad de ángulos, si $\alpha=\frac{p}{4}$ entonces $\beta =\frac{p}{4}$ (las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es la misma, dicho de otro modo, la altura se construye desde el punto medio de la hipotenusa)