Prueba induccional de suma: $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2$

Question

Teniendo la siguiente desigualdad

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}<2$$ Para demostrarlo para todos los números naturales basta con demostrar que:

$\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n^2} <2$ o $\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n^2}$

Answer 1

Esta es una forma...

$$\frac1{k^2} < \frac1{k(k-1)}= \frac1{k-1} - \frac1{k}$$

Ahora telescopio para obtener $$1+\sum_{k=2}^n\frac1{k^2} < 1+1-\frac1{n}< 2$$

Answer 2

Utilizando algunas sumas telescópicas, podemos ser aún más precisos. Podemos notar que: $$\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n(n-1)} = -\frac{1}{n^2(n-1)}$$ y si $n>1$ : $$\frac{1}{n^2(n-1)}-\frac{1}{(n-1)n(n+1)}=\frac{1}{(n-1)n^2(n+1)}$$ Así que..: $$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2} = 1+\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n(n-1)}-\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{(n-1)n(n+1)}-\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{(n-1)n^2(n+1)}$$ o: $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2} &=& 2-\frac{1}{N}-\frac{N^2+N-2}{4N(N+1)}-\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{(n-1)n^2(n+1)}\\&=&\frac{7}{4}-\frac{2N+1}{2N(1+N)}-\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{(n-1)n^2(n+1)}\\&\leq&\color{red}{\frac{7}{4}}-\frac{1}{N+1}.\end{eqnarray*}$$

El enfoque telescópico (o método de la aceleración de Euler) también conduce a:

$$\forall N\geq 2,\qquad \sum_{n=1}^{N}\frac{3}{n^2\binom{2n}{n}}\leq \zeta(2) \leq \frac{1}{N^2\binom{2N}{N}}+\sum_{n=1}^{N}\frac{3}{n^2\binom{2n}{n}}$$

por lo que, con sólo elegir $N=3$ , $$\zeta(2)\leq\color{red}{\frac{593}{360}}$$ y la aproximación es exacta hasta dos cifras.

Answer 3

Como se ha señalado, la inducción es una forma más difícil de demostrarlo. Aquí está. Afirmación: $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2} < 2-\frac{1}{n}$$ para $n=2,3,4,\cdots$ . En primer lugar, cuando $n=2$ tenemos $$\frac{1}{1}+\frac{1}{4} = \frac{5}{4} < \frac{3}{2} = 2-\frac{1}{2}$$ lo cual es correcto.
Ahora, supongamos $n \ge 2$ y $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2} < 2-\frac{1}{n}$$ Entonces $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2} < 2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}$$ por lo que basta con demostrar $$2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2-\frac{1}{n+1}$$ Esto equivale a $$\frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$$ que se cumple si $$n+n(n+1) < (n+1)^2$$ o $$2n+n^2 < 1+2n+n^2$$ lo cual es cierto. Esto completa la inducción.

Answer 4

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}+...\uparrow\frac{\pi^2}{6}=1,6449340668482...\lt2.$$ Ver: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

Answer 5

La suma $\sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2}$ es una suma de Riemann inferior para la función $1/x^2$ en el intervalo $[1,n]$ Así que $$\sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le\int_{1}^n\frac{1}{x^2}\,dx= \left[-\frac{1}{x}\right]_1^n=1-\frac{1}{n}$$ Por lo tanto $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\le 1+1-\frac{1}{n}<2$$