¿Son los fermiones intrínsecamente no locales?

Question

Antecedentes:

Cuando se estudia la mecánica cuántica de más de una partícula, se aprende que todas las partículas fundamentales pueden clasificarse como bosónicas o fermiónicas. Los fermiones tienen una estructura de espinor, y adquieren una fase de -1 al girar en 2 $\pi$ radianes, mientras que los bosones (gauge) tienen una naturaleza vectorial y recogen una fase de 1. Matemáticamente, se dice que los espinores son una representación del grupo SU(2), que es una doble cobertura del grupo de rotación SO(3).

La forma estándar en que se muestra a los estudiantes universitarios que algo puede girar por 2 $\pi$ y no terminar en su configuración inicial es el Truco del Cinturón de Dirac que consiste esencialmente en hacer girar una parte de la correa mientras otro punto está fijo. O, del mismo modo, se puede hacer girar una placa en la mano mientras se mantiene el cuerpo fijo (el truco de la placa de Feynman).

Un aspecto llamativo de esta demostración, a diferencia de la ingeniería de una representación física de un sistema con 2 $\pi$ , $\pi$ o simetría de rotación inferior, es que depende esencialmente de la relación del objeto con su entorno, en el sentido de que las conexiones con el entorno (como el cuerpo de la correa) son las que impiden que el sistema tenga 2 $\pi$ simetría.

Una forma conocida de relacionar un sistema de fermiones (libres) con un sistema de bosones (que interactúan) es la Transformación Jordan-Wigner . Esta transformación es, famosamente, altamente no local, en el sentido de que un operador fermiónico en un punto es creado por una larga cadena de operadores bosónicos. Ésta y otras ideas relacionadas han inspirado al profesor Xiao-Gang Wen, en su libro de texto en la teoría de muchos cuerpos, para afirmar que los fermiones deben considerarse excitaciones no locales. Sin embargo, no conozco a nadie más que enfatice este punto de vista.

Bien, con todos estos antecedentes establecidos tengo dos preguntas:

1. ¿Son los fermiones objetos no locales, en un sentido en el que los bosones gauge no lo son?

2. El hecho de que nuestras representaciones físicas de la simetría SU(2), como el Truco del Cinturón, requieran algún tipo de conexión con un fondo fijo, ¿es un reflejo de esta no-localidad fundamental, o una mera coincidencia? ¿Puede precisarse esta relación?

Edición: Gracias a todos los que han contribuido. No parece que haya mucho consenso sobre la relación, si es que hay alguna, entre la simetría SU(2) y las propiedades no locales. Daré la recompensa a la respuesta más votada, pero considero que la pregunta no está totalmente resuelta y agradezco cualquier respuesta adicional.

Answer 1

Así que lo que la gente entiende por "no local" varía de un contexto a otro y de una persona a otra. Wen tiene un significado muy particular.

1) En la fermionización en $D=1+1$ los fermiones de Jordan-Wigner son, en el lenguaje bosónico, operadores soportados en muchos sitios. Los fermiones emergentes (mutuos) en el código tórico también están soportados en los extremos de las cuerdas.

2) Paridad fermiónica, $(-1)^F$ es una simetría de todos los sistemas fermiónicos y no puede ser rota explícitamente por ningún término local.

Sin embargo, las cuerdas terminan en puntos y los hamiltonianos de los sistemas fermiónicos son locales. El espacio de Hilbert (de los fermiones emergentes) es también muy bonito y descomponible en un producto tensorial local.

Así que, en este sentido, son locales de un modo que los bosones gauge no lo son. El espacio de Hilbert (físico/invariante de gauge) de una teoría gauge no se factoriza como un producto tensorial agradable y los operadores invariantes de gauge son bucles de Wilson/t'Hooft (no locales en su definición) o cuando se tiene materia cargada hay que incluir la configuración del campo gauge a su alrededor. Esto plantea muchos problemas a la hora de hacer que la entropía de enredo de una teoría gauge esté bien definida.

Wen y otros tienen entonces esta idea de que tal vez los bosones locales son fundamentales debido a su simplicidad. Ciertamente, de ellos pueden surgir teorías gauge y fermiones.

Answer 2

1. ¿Son los fermiones objetos no locales, en un sentido en el que los bosones gauge no lo son?

Por lo que tengo entendido, la respuesta es definitivamente NO. Las partículas fermiónicas son local objetos como los bosónicos. Basándose simplemente en la forma no local de la bosonizada fermiones de Jordan-Wigner, no se puede concluir que los fermiones sean no locales. La transformación de Jordan-Wigner, como cualquier otra transformación, no es más que una herramienta auxiliar que conduce a una descripción adecuada de las propiedades físicas, especialmente en sistemas cuánticos unidimensionales. Obsérvese que se trata de no la única manera; se pueden obtener las propiedades físicas por cualquier otro método de cálculo adecuado.

Se puede comparar esta cuestión con las diferentes representaciones para la densidad de espín (un operador bosónico), ya que existen varias representaciones para el operador de densidad de espín; a saber Bosón de Schwinger , Holstein-Primakoff (bosón), Dyson-Maleev (bosón), Pseudofermión de Abrikosov o Fermión de Majorana representaciones. Todas ellas son exactamente representaciones y cada una es útil para una determinada clase de problemas, es decir, reproduce el comportamiento físico correcto en un determinado régimen. Por lo tanto, no se debe llegar a una conclusión basándose únicamente en la representación utilizada para un objeto/cantidad física, porque la representación no es más que un marco matemático; sólo el observable las propiedades físicas que se obtienen a partir de esa representación cuentan como descripciones de la "realidad" o del "hecho".

En el caso de la transformación de Jordan-Wigner aplicada a las cadenas de espín interactivas unidimensionales para mapearlas a un modelo fermiónico, no hay evidencia en las funciones de correlación resultantes de la "no localidad" de los fermiones. La transformación de Jordan-Wigner sólo proporciona una buena descripción para escalas de energía bajas. En este caso, si se toma literalmente la representación de cadena bosónica infinita de un fermión (obtenida después de una 'bosonización' adecuada de los fermiones), ¡entonces se debería poder observar fácilmente una cadena tan larga (como una gran molécula pesada)! Por lo tanto, tal interpretación literal es ciertamente absurda.

2. ¿Es el hecho de que nuestras representaciones físicas de la simetría SU(2), como el Truco del Cinturón, requieran algún tipo de conexión con un fondo fijo un fondo fijo un reflejo de esta no-localidad fundamental, o una mera coincidencia?

Creo que esas "representaciones físicas" no son más que dibujos animados para hacer el problema intuitivamente claro y enfatizar (y exagerar) las diferencias entre la rotación del giro ( $SU(2)$ ) y la rotación en el espacio ( $SO(3)$ ). Más allá de esta ilustración intuitiva, la única guía es un formalismo matemático adecuado.

Por último, recuerda que para tener fermiones con espín medio entero, no es necesario tener ninguna interacción ni utilizar una determinada representación. Aparecen naturalmente, por ejemplo, como soluciones de la sin interacción Ecuación de Dirac. La razón fundamental es la necesidad de tener una Invariante de Lorentz teoría cuántica. La transformación de Jordan-Wigner es una herramienta elaborada aplicable a interactuando sistemas cuánticos en 1 dimensión; una representación eficiente para algunos sistemas físicos en un determinado régimen (de baja energía). Si los fermiones resultantes (o las excitaciones elementales) fueran "realmente" no locales, esto se observaría independientemente de la representación utilizada.

Para una descripción pedagógica de la bosonización y la transformación de Jordan-Wigner, véase E. Miranda, "Introduction to bosonization", Braz. J. Phys. 33:1 (2003) < http://dx.doi.org/10.1590/S0103-97332003000100002 >.

Comentario añadido : Al revisar la pregunta y los comentarios, me he dado cuenta de que es necesaria una aclaración. En realidad, la transformación de Jordan-Wigner mapea los operadores de espín a una "cadena" de fermiones. Después, el hamiltoniano fermiónico resultante puede ser bosonizada a través de una transformación altamente no local, el Fórmula Mattis-Mandelstam . Consulte la referencia anterior.

Answer 3

Matthew Fisher me dijo una vez que considera a los fermiones intrínsecamente no locales por una razón muy sencilla: un operador de creación bosónica de muchos cuerpos puede escribirse como un producto tensorial de operadores de un solo cuerpo que sólo actúan de forma no trivial en el lugar donde se está creando una partícula, es decir $a_n^\dagger = I \otimes I \dots I \otimes a^\dagger \otimes I \dots$ donde el $a^\dagger$ aparece en el $n$ a la plaza. Pero no hay tal construcción para un operador de creación fermiónico de muchos cuerpos, porque necesitan anti en diferentes sitios, lo que no se consigue tensando las identidades. Así que para calcular la acción de un operador de creación fermiónico sobre un estado, hay que considerar el estado completo (para calcular cuántos operadores de creación anteriores hay que anticonmutar), no sólo el sitio individual en el que se está creando la partícula. No es necesario considerar el espín, basta con pensar en las relaciones de conmutación.

Otras personas piensan que se trata sólo de una no localidad formal de los operadores matemáticos de escalera fermiónica, no de fermiones físicos reales. Se trata en gran medida de una diferencia filosófica.

Answer 4

¿Son los fermiones intrínsecamente no locales?

Sí, definitivamente. Es la teoría del campo cuántico, no la teoría de la partícula puntual cuántica. El campo de un electrón es lo que es. Y ese campo no tiene superficie. Desde una gran distancia será inundado e indetectable, pero no hay un lugar definible donde ese campo se detenga.

Cuando se estudia la mecánica cuántica de más de una partícula, se aprende que todas las partículas fundamentales pueden clasificarse como bosónicas o fermiónicas. Los fermiones tienen una estructura de espinor, y recogen una fase de -1 cuando se rotan 2π radianes, mientras que los bosones (gauge) tienen una naturaleza vectorial y recogen una fase de 1. Matemáticamente, se dice que los espinores son una representación del grupo SU(2), que es una doble cobertura del grupo de rotación SO(3).

Sí. Pero no olvides que puedes hacer electrones y positrones a partir de fotones en la producción de pares gamma-gamma, así que no son fundamentales como la energía es fundamental. Y no olvides que los fotones tienen una naturaleza de onda E=hf definida, y toman muchos caminos. Para una analogía piensa en una onda sísmica que viaja de A a B a través de una llanura gedanken plana. No sólo tiemblan las casas situadas en la línea AB. Las casas situadas a 10 km de esa línea también tiemblan. Y a 100 km, aunque mucho menos. En este sentido, la onda sísmica toma muchos caminos. No es local. Ninguna onda lo es.

La forma estándar en que se muestra a los estudiantes de grado que algo puede girar 2π y no terminar en su configuración inicial es el truco del cinturón de Dirac, que esencialmente consiste en girar una parte de un cinturón mientras otro punto está fijo. O, de forma similar, se puede hacer girar una placa en la mano mientras se mantiene el cuerpo fijo (el truco de la placa de Feynman).

Sí, ver esta respuesta sobre una pregunta anterior acerca de los espinores. Y tenga en cuenta que el Efecto Einstein-de Haas demuestra que "el momento angular del espín es, en efecto, de la misma naturaleza que el momento angular de los cuerpos en rotación tal como se concibe en la mecánica clásica" . También hay que tener en cuenta que orbitales atómicos electrones "existen como ondas estacionarias" . Y que la ecuación de Dirac es una ecuación de onda.

Un aspecto llamativo de esta demostración, a diferencia de la ingeniería de una representación física de un sistema con simetría de rotación 2π , π , o inferior, es que depende esencialmente de la relación del objeto con su entorno, en el sentido de que las conexiones con el entorno (como el cuerpo de la cinta) son las que impiden que el sistema tenga simetría 2π.

Lo siento, no tengo claro lo que quiere decir aquí. Seguramente estamos hablando de una onda que da una vuelta de 360º sobre un eje mayor mientras gira 180º sobre un eje menor ortogonal, y luego vuelve a girar para un total de 720º y 360º.

Una forma conocida de relacionar un sistema de fermiones (libres) con un sistema de bosones (que interactúan) es la transformación de Jordan-Wigner. Esta transformación es, famosamente, altamente no local, en el sentido de que un operador fermiónico en un punto es creado por una larga cadena de operadores bosónicos. Esto y otras ideas relacionadas han inspirado al profesor Xiao-Gang Wen, en su libro de texto sobre teoría de muchos cuerpos, a afirmar que los fermiones deberían considerarse excitaciones no locales. Sin embargo, no tengo constancia de que nadie más haya hecho hincapié en este punto de vista.

Más bien es una pena. En mi opinión, el pensamiento de las partículas puntuales ha sido malo para la física.

Bien, con todos estos antecedentes establecidos tengo dos preguntas: 1.¿Son los fermiones objetos no locales, en un sentido en el que los bosones gauge no lo son?

Sí y no. Los fermiones son no locales, y los bosones también.

2.¿Es el hecho de que nuestras representaciones físicas de la simetría SU(2), como el Truco del Cinturón, requieran algún tipo de conexión con un fondo fijo un reflejo de esta no-localidad fundamental, o una mera coincidencia? ¿Puede precisarse esta relación?

De nuevo disculpas, no estoy seguro de lo que quiere decir. Pero si puedo ofrecer algo que puede ser útil: En mi opinión, el truco del cinturón no es más que el modo en que la producción de pares "enrolla" las ondas en ondas estacionarias. Busca corriente de desplazamiento , geometría electromagnética y la de Wheeler geons . Sin embargo, hay que tener en cuenta que la onda electromagnética no está confinada por la atracción gravitatoria, sino por su propia corriente de desplazamiento. La onda acaba viajando a través de sí misma en un doble bucle retorcido, desplazando siempre su propia trayectoria hacia un camino cerrado. Entonces, en lugar de una onda que se propaga linealmente a c, tenemos una onda estacionaria. Onda estacionaria, campo estacionario . Este campo tiene un centro, pero no hay nada en ese centro. Igual que no hay nada en el centro de un huracán. Los experimentos de dispersión se han utilizado para afirmar que el electrón es muy pequeño. Pero en mi opinión eso es como colgarse de un helicóptero para sondear un remolino con una pica. Y luego decir "No puedo sentir la bola de billar, debe ser realmente muy pequeña" .

Answer 5

Vale, creo que tengo una imagen semiconvencida de esto en mi cabeza. Las otras dos respuestas contienen al menos una parte de la historia que quería; voy a ponerla entera aquí con la esperanza de recibir comentarios y de que sea útil para alguien más.

Como señala SM Kravec, la paridad fermiónica es una simetría no local de un sistema fermiónico. Esto sugiere, como han propuesto varias personas a lo largo de los años, una naturaleza topológica de las partículas fermiónicas. A las ideas en esta línea que ha mencionado John Duffield añadiría, por lo que entiendo, la nueva conjetura EP=EPR.

Comparando esto con la demostración física del truco del cinturón de Dirac, entonces, la idea obvia es que un modelo topológico mínimo para un par fermión partícula-antipartícula es tenerlas unidas como dos extremos de un cinturón, cuyas vueltas nos dicen algo sobre la fase del sistema total. Como en un cinturón real, la rotación de uno de los extremos (es decir, la partícula o antipartícula por sí misma) tiene una fase de 4 $\pi$ simetría. Así que el comportamiento SU(2) proviene efectivamente de un tipo de no-localidad en este punto de vista, específicamente la no-localidad asociada con la paridad fermiónica. Por supuesto, una rotación de la partícula y la antipartícula en 2 $\pi$ , que en cierto sentido es lo que debería considerarse una verdadera rotación del sistema, te devuelve al punto de partida.

Esto se generaliza a varios pares de partículas. En ese punto hay que recordar que, en 3D, el intercambio de dos partículas idénticas es topológicamente idéntico a la rotación de una partícula en 2 $\pi$ por lo que el intercambio de dos fermiones también debe dar una fase -1. De nuevo, en cierto sentido el intercambio "completo" del sistema sería cambiar dos partículas y también sus correspondientes antipartículas al mismo tiempo, lo que deja el sistema invariante. Además, en lugar de tener tu cinturón de Dirac conectando dos partículas particulares, quizás estaría más en el espíritu de la indistinguibilidad imaginar que una partícula dada está en una superposición de estar emparejada con cada antipartícula, aunque no me queda claro que haya alguna diferencia real entre estas dos opciones.

No cabe duda de que esta línea de pensamiento ha sido explorada por muchas personas antes, pero creo que nunca la he visto del todo expuesta. Si alguien conoce una referencia de este tipo, se lo agradecería.