Es de #% demostrando que $\mu$% #%

Question

Supongamos que un conjunto de $S$ de los números reales es limitada y deje $\mu$ ser una cota superior para $S$. Mostrar que $\mu$ es la menor cota superior de $S$ $\Longleftrightarrow$ para cada $\epsilon > 0$ hay un elemento de $S$ en el intervalo de $[\mu - \epsilon, \mu]$.

Mi Trabajo

($\Rightarrow$)

Si no hay ningún elemento de $S$ en el intervalo de $[\mu - \epsilon, \mu]$, $\mu - \epsilon$ también podría ser una cota superior para $S$, pero desde $\mu = \sup S$ $\mu - \epsilon < \mu$ hay una contradicción.

---

($\Leftarrow$)

Teniendo en cuenta la menor cota superior de a $S$, tengo que demostrar que no puede ser menor que $\mu$. Pero no estoy seguro de cómo hacer esto con la condición de que me dan.

Editar

Por la definición de un supremum, si $\lambda$ es otra cota superior de a $S$, entonces si $\mu = \sup S \Rightarrow \mu \le \lambda$. Así que prueba por contradicción, suponiendo que $\mu \ne \sup S$, ¿eso significa que hay un elemento $\lambda \in [\mu - \epsilon, \mu], \lambda \notin S, \lambda < \mu$? ¿Cómo se demuestra esto que no hay ningún elemento de $S$ $[\mu - \epsilon, \mu]$ por cada $\epsilon > 0$?

Answer 1

Si $\mu$ es una cota superior y no hay ningún elemento de $S$ $(\mu-\varepsilon,\mu]$ entonces $\mu-\varepsilon$ es también un límite superior, por lo $\mu$ no es el menos uno.

Answer 2

Recordemos la definición de supremum

Un elemento $\mu$ es un supremum de un conjunto $S$ si

$(1)$ Es un límite superior. Es decir, para$x$$S$,$x \leq \mu$.

$(2)$ Si $\eta$ es cualquier otra cota superior, $\mu \leq \eta$.

Ahora el teorema usted podría querer es

THEROEM $\mu$ es supremum de $S$ si y sólo si para cada una de las $\epsilon >0$, hay algunos $x \in S$ que $$\mu-\epsilon \color{red}{<} x \leq \mu$$

Tenga en cuenta el $<$ e no $\leq$. Usted verá por qué esto es así.

$(\Rightarrow)$ Supongamos $\mu$ es un supremum. Entonces es claro que para cualquier $x\in S$, $x\leq \mu$. Ahora afirman que la contradicción. Supongamos que hay algunos $\epsilon \;>0$ tal que $$\mu-\epsilon \geq x$$ for each element of $$. Esto significa que $x \leq \mu-\epsilon$ por cada $x$. Pero eso significaría $\mu-\epsilon$ es cota superior de a $\mu-\epsilon \leq \mu$ lo cual es imposible, ya que $\mu$ es el supremum.

No estoy seguro acerca de la $(\Leftarrow)$. Siempre he visto que se utiliza en una dirección. El teorema es a veces llamado el teorema de aproximación, y se dice que, dado un acotado no vacío subconjunto $S$ de los reales, hay una secuencia de elementos de $S$, se $s_n$ tal que $s_n \to \sup S$,y de otra secuencia, se $u_n$, de tal manera que $u_n \to \inf S$

Answer 3

Comenzamos recordando la definición formal de la menor cota superior de un conjunto ordenado.

Definición: Para un conjunto $A$ (ordenada), $\alpha= \sup A$ fib

• $\alpha$ es una cota superior de a $A$
• Si $\exists \beta \lt \alpha$, $\beta$ no es una cota superior de a $A$

---

Suponga que para algunos $ϵ>0$, $\nexists x∈[μ−ϵ,μ]$, tal que $x∈S$. Desde $S \subset \mathbb R$ no puede existir un intervalo de $[\varphi_1,\varphi_2]=\emptyset$, esto implica que $∃λ<μ$ donde $λ \notin S \implies \mu \ne \sup S$. Ahora si $λ∉S$, esto significa que $λ$ es, pero otra cota superior para $S$, que es menos de $μ$. Nota: la segunda propiedad de $\sup A$ en la definición. Pretendemos que $\mu= \sup A$ el hecho de que $\lambda \lt \mu$ sugieren otros sabios. Por lo tanto, sería erróneo afirmar que $\mu$ es el mínimo límite superior para $S$ cuando sólo nos mostró que no es otra cota superior que es incluso menos de $\mu$.

Así que si $μ= \sup S$, entonces tiene que ser un elemento de $S$ en el intervalo de $[μ−ϵ,μ]$

Ahora, la pregunta dice que $μ$ es el supremum iff hay un elemento de $S$ en el intervalo de $[μ−ϵ,μ]$. Pero lo que hicimos fue que comenzó asumiendo que no hay ningún elemento de $S$ en el intervalo de $[μ−ϵ,μ]$ y demostró que si este es el caso, entonces la $μ≠\sup S$. Por lo tanto, si $μ=\sup S$, no tiene que ser un elemento de $S$ en el intervalo de $[μ−ϵ,μ]$.

Answer 4

La secuencia no es realmente necesario. Tenga en cuenta que $\mu$ es una cota superior, por lo que necesitamos mostrar nada menor que $\mu$ es una cota superior. Es decir, para todos los $z

(También, en la dirección hacia adelante, cómo sabes que $\mu - \frac{\epsilon}{2}$ pertenece a $S$?)

Answer 5

En $\Rightarrow$, si usted está tomando el intervalo cerrado, no veo por qué usar $\mu-\epsilon/2$ en lugar de a $\mu-\epsilon$. De cualquier manera, no es totalmente correcta: puede ser que ninguno de estos puntos es un miembro de $S$ (si, por ejemplo, $S=(\mu-\epsilon/2,\mu)$ o $S={\mu-2^{-n}\vert n\in \bf N }$ y $\epsilon$ es un poder de $2$). Tiene que elegir los puntos un poco más detenidamente.

$\Leftarrow$, Lo mejor sería tomar el menos límite superior de $S$, y mostrar que no puede ser menor a $\mu$.