Cómo mostrar $x\in \mathbb{R}$, $|x|\leqslant 1+x^2$

Question

Cómo mostrar $x\in \mathbb{R}$, $$|x|\leqslant 1+x^2$ $

¿Puedo mostrar $2|x|\leq 1+x^2$, pero como demostrar lo anterior?

Answer 1

Observar que $$ 2 | x | \leq 1 + x ^ \quad \implies \quad 2 | x | \leq \frac{1+x^2}2 \le 1 + x ^ 2. $$

Answer 2

De verdad $x,|x|^2=x^2$ y $$4|x|^2-4|x|+4=(2|x|-1)^2+3\ge3$ $

Answer 3

Desde $|x|\geq 0$, usted tiene $|x|\leq 2|x|$, y así insertando la desigualdad sabes $2|x|\leq 1+x^2$ obtienes el % de deseos $|x|\leq 2|x|\leq 1+x^2$.

Answer 4

$AM-GM$ tenemos %#% $ #%

Answer 5

Que $|x|=t$;

Se obtiene: $$|x|\leqslant 1+x^2 \implies t^2-t+1 \ge 0$ $

Ahora, es el discriminante de $t^2-t+1$: $$b^2-4ac=1-4=-3

$$ t^2-t+1 \ge 0 ~\forall ~t \in \mathbb R^+$ $ Por lo tanto:

$$|x|\leqslant 1+x^2 ~~\forall ~x \in \mathbb R$$