Automorfismos de $\mathbb Z_p[x]$

Question

<blockquote> <p>Estoy tratando de encontrar todos los automorfismos de $\mathbb Z_p[x]$ (polinomios con coeficientes de $\mathbb Z_p$ $p$ Dónde está primer).</p> </blockquote> <p>Sé que automorphisms de $\mathbb Z[x]$ $x\to x$ y $x\to -x$, pero ahora cuando los coeficientes son en $\mathbb Z_p$, no estoy totalmente seguro.</p>

Answer 1

Como usted probablemente ha notado, un endomorfismo de este anillo está totalmente determinado por su valor en $x$ (porque debe ser la identidad en la ${\bf Z}_p$ $1\mapsto 1$ y otros son múltiplos de $1$), y la elección de este valor, se obtiene un endomorfismo.

La pregunta que queda es ¿qué opciones de un polinomio $P$, $x\mapsto P$ dar un automorphism.

Tenga en cuenta que siempre tenemos todas las constantes en el rango de un endomorfismo, y ${\bf Z}_p$ es un campo, por lo que para un endomorfismo a ser surjective su suficiente para su gama de contener algún grado de un polinomio. No es difícil ver que es cierto si y sólo si $P$ tiene el grado $1$ (esto se deduce del hecho de que ${\bf Z}_p$ es un dominio).

Por otro lado, un análisis simple de los términos de orden más alto puede mostrar que un endomorfismo ha kernel que no sea trivial si y sólo si $P$ es constante (de nuevo, porque ${\bf Z}_p$ es un dominio).

En resumen, $x\mapsto P$ los rendimientos de una automorphism iff $P$ tiene el grado $1$.