Valor esperado de la tangente de una variable aleatoria normal

Question

Si $z\sim N(\mu,\sigma^2)$

¿Qué es $E[\tan(z)]$$E[\tan^2(z)]$?

En general, parece que la esperanza no existe. Cómo acerca de si $z$ está delimitado $(0,\pi/2)$?

Actualización: Teóricamente, mi variable aleatoria puede cambiar de 0 a $\pi/2$ (los extremos son excluidos). Sin embargo, en la práctica, su límite superior es menor que $\pi/3$. Por eso, en los comentarios de abajo, me he subido a $\pi/3$.

Actualización 2: Por "prácticamente", me refiero a esto: Mi variable aleatoria es en realidad una propiedad de la materia. No hay ninguna limitación teórica que evita esta propiedad para acercarse a $\pi/2$. Sin embargo, nadie ha informado de cualquier valor por encima de $\pi/3$ en la práctica (en la naturaleza).

Answer 1

El comportamiento de la $\tan$ función como argumento enfoques $\pi/2$:

las garantías que, a menos que la densidad se aproxima a 0 con la suficiente rapidez como el argumento de los enfoques $\pi/2$, el límite ($\lim_{t\to\pi/2} \int_{0}^{t}\tan(x)f(x)dx$) no será finito. No normal truncada a $(0,\pi/2)$ puede acercarse a 0 en una manera que haría eso.

Si usted toma $\mu$ bien en los aspectos negativos o hacer $\sigma$ muy pequeño, a primera vista, puede parecer como que podría converger, pero nunca lo hará:

La distribución de $\tan(z)$ presentan algo similar superior de la cola de comportamiento para una distribución de Cauchy.

Tirando el límite superior lejos de $\pi/2$ integral convergerán para una cantidad finita y puede por lo menos ser hecho numéricamente ... por ejemplo, para una normal estándar y un límite superior de $\pi/3$ la expectativa es acerca de 0.521564. Pero el Wolfram en línea integrador no puede hacer la integral indefinida, así que bastante puede asumir con seguridad que no voy a ser capaz de; cálculo numérico, la serie de aproximaciones, o límites son, probablemente, sus principales opciones.

Sin embargo, su disposición en los comentarios para saltar de un límite superior de $\pi/2$ a uno de $\pi/3$ sugiere que no tienes bien definido el problema (si es que se puede cambiar tan fácilmente a $\pi/3$, ¿por qué no algo más? Si eso es tan fácilmente cambiado, ¿por qué no la distribución, o la función de la variable aleatoria cuya expectativa de que usted está tomando? ¿Por qué esta expectativa? ¿Cómo sabes que tienes la normalidad?). Puede ser mejor para centrar su interés en más cuidadosamente identificar y definir el problema de fondo aquí, ya que puede conducir a más productivo líneas de investigación.

Sin embargo, en la práctica, su límite superior es menor que $π/3$.

Todo depende , precisamente, de lo que "prácticamente" significa aquí. De nuevo, esto sugiere el mismo tipo de preocupación que se expresa anteriormente acerca de que el problema no está claramente definida.

¿Hay alguna posibilidad de valores puede exceder $\pi/3$, no importa que tan pequeño? ¿Hay alguna oportunidad de que puedan estrechamente enfoque de $\pi/2$, no importa cuán infinitamente remota de las posibilidades que podría ser? Si es así, ¿podemos realmente decir nada acerca de lo que la tasa de disminución podría estar en los valores más altos?

Aquí, por ejemplo, es un modelo a escala de la beta en $(0,\pi/2)$ (a pesar de que casi ninguno de la probabilidad se encuentra más allá de $\pi/3$, e incluso con muchas, muchas de las observaciones que usted no puede ver los valores por encima de $\pi/3$:

La integral de esta distribución es finito.

(Sin embargo, usted tendría un tiempo difícil decirle que la distribución beta además de una normal con la misma media y varianza.)