$|f(x)-f(y)|\le g(x-y)$, es$f$ continuo cuando$g$ es

Question

$g$ es una función continua en $\mathbb{R}$ y $g(0)=0$, $f$ satisface $|f(x)-f(y)|\le g(x-y)$, que necesito Mostrar $f$ es continua.

bien he intentado así: $|f(x)-f(0)|\le g(x), |f(0)-f(y)|\le g(-y)$,

$|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(0)-f(y)|\le g(x)+g(-y)$

No puedo seguir adelante, por favor ayudenme.

Answer 1

Deje$c>0$, ya que$g$ es continuo en$0$, existe$d$ de modo que$|y|<d$ implica que$|g(y)-g(0)|=|g(y)|<c$. Permita que$x$ sea un elemento de$\mathbb{R}$ y$y$ un elemento tal que$|x-y|<d$, deduzcamos que$|f(x)-f(y)|<|g(x-y)|<c$. Esto implica que ese$f$ es continuo.

Answer 2

En realidad tenemos más fuerte de los resultados, que $f$ es no sólo continua, pero uniformemente continua.

Definición de continuo: $\forall y$ en el dominio de $f$, e $\forall \epsilon>0, \,\exists \delta_{y,\epsilon}$, s.t. $|f(x) - f(y)| <\epsilon$ siempre $|x - y| < \delta_{y,\epsilon}$

Definición de la función uniformemente continua: $\forall \epsilon>0, \,\exists \delta_{\epsilon}$, s.t. $|f(x) - f(y)| <\epsilon$ siempre $|x - y| < \delta_{\epsilon}$

Prueba. dado cualquier $\epsilon_0 > 0$

Desde $g$ es continua, y $g(0) = 0$, podemos encontrar una $\delta_{\epsilon_0}$, s.t. $|g(x - y) - g(0)| = g(x-y)< \epsilon_0$, siempre que $|x-y - 0| < \delta_{\epsilon_0}$

Así tenemos a $|f(x) - f(y)| < g(x-y) < \epsilon_0$, siempre que $|x-y| < \delta_{\epsilon_0}$

Así nos encontramos con un $\delta$ por cada $\epsilon$ uniformemente sobre el dominio de $f$, y por lo tanto $f$ es uniformemente continua.

Answer 3

Saludos urgentes...

Para demostrar que la función $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}$, es el mismo que indiquen que $$ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a), \: \: \: \text{for all } a \text{ in } \mathbb{R}$ $

Ahora para mostrar esto, nosotros tenemos información que $g$ es el continuo, $g(0)=0 $ y la relación por debajo de

$$ |f(x)-f(a)| \le g(x-a)$$

De la relación que

$$ - g(x-a) \le f(x)-f(a) \le g(x-a)$$

Entonces tomando el límite $x \rightarrow a$, $g$ término será $0$ porque es continua, y luego por sandwich concluiríamos que $f(x)$ es continua. $$ 0 \le \lim{x \rightarrow a} f(x)-f(a) \le 0 $$ $$ \lim{x \rightarrow a} f(x)-f(a) = 0 $$

Gracias.