Deje $L\mid K(t_1,\ldots,t_m)$ ser un separables y finito de extensión de campo con $t_1,\ldots,t_m$ algebraicamente independiente sobre $K$ (algebraicamente cerrado). Podemos utilizar el elemento primitivo teorema , de modo que existe $t_{m+1}\in L$ tal que $L=K(t_{1},\ldots,t_{m+1})$. Deje $f\in K(t_{1},\ldots,t_{m})[x]$ ser el polinomio mínimo de a$t_{m+1}$$K(t_{1},\ldots,t_{m})$. A continuación, $$ L=K(t_{1},\ldots,t_{m+1})\simeq K(t_{1},\ldots,t_{m})[x]/(f). $$ Podemos escribir $$ f=\frac{f_{0}(t_{1},\ldots,t_{m})}{g_{0}(t_{1},\ldots,t_{m})}+x\frac{f_{1}(t_{1},\ldots,t_{m})}{g_{1}(t_{1},\ldots,t_{m})}+\cdots+x^{d-1}\frac{f_{d-1}(t_{1},\ldots,t_{m})}{g_{d-1}(t_{1},\ldots,t_{m})}+x^{d}. $$ Definimos $h_{i}(x_{1},\ldots,x_{m})=\frac{f_{i}(x_{1},\ldots,x_{m})}{g_{i}(x_{1},\ldots,x_{m})}\cdot \operatorname{LCM}(g_{0}(x_{1},\ldots,x_{m}),\ldots, g_{d-1}(x_{1},\ldots,x_{m}))$, donde LCM es el mínimo común múltiplo. En particular, $h_{d}=\operatorname{LCM}(g_{0}(x_{1},\ldots,x_{m}),\ldots, g_{d-1}(x_{1},\ldots,x_{m}))$. Vamos $$ p(x_{1},\ldots,x_{m},x_{m+1})=h_{0}(x_{1},\ldots,x_{m})+h_{1}(x_{1},\ldots,x_{m})x_{m+1}+\cdots+h_{d}(x_{1},\ldots,x_{m})x_{m+1}^{d}\en K[x_{1},\ldots,x_{m+1}] $$ Es cierto que el campo de fracciones de $K[x_{1},\ldots,x_{m+1}]/(p)$ es ismomorphic a $L$? Además, es cierto que $(p)$ es un alojamiento ideal?
$\textbf{Remark}$ Esta pregunta ha surgido mientras yo estaba tratando de entender el Teorema 5 en p.39 de Shafarevich s Básicos de la Geometría Algebraica'. Este teorema dice que cada irreductible afín conjunto es birationally equivalente a un afín hipersuperficie (y a este paso se supone que obvius)
