Orden en teoría de conjuntos y lógica

Question

En ZFC pares ordenados son a menudo definidos en términos de Kuratowski pares de $(x, y)=\{\{x\}, \{x, y\}\}$ o algún tipo de construcción para evitar la introducción de nociones primitivas. La definición es, por lo general, seguido de disculpas porque implica artificial propiedades como $\{x\}\in (x, y)$ etc. que luego inmediatamente ignorado. Esto nos lleva a incluso más raro y más arbitraria de las relaciones hacia abajo de la línea. Mientras tanto, la noción de un orden de las cadenas se toma concedido en la lógica subyacente por ejemplo,$x\rightarrow y$. Ya que son las cadenas de caracteres de forma automática equipada con el fin de que ¿por qué no colocar el requisito de que el fin de pares se establece por completo y en lugar de tratar de organizar algo como $(x, y)=xy$ para los conjuntos de $x$$y$? (Si podemos usar cadenas de longitud 1 para representar conjuntos de por qué no cadenas de longitud 2 para representar pares ordenados?) $(x, y)$ sería entonces, presumiblemente por ser un urelement pero no un conjunto. Esto tendría la ventaja de que todos los objetos se construyen a partir de conjuntos aunque no todos son conjuntos.

Answer 1

Pregunta interesante. Un caso podría ser el hecho de que la teoría de conjuntos, presupone la lógica, y que la lógica presupone una cierta noción de orden (además de las cadenas de un lenguaje formal, en una prueba posterior de las declaraciones dependen de anteriores declaraciones). A lo mejor, esto demostraría que Kuratowski de la construcción no es el origen de la noción de orden.

Tenga en cuenta que la lógica también presupone una noción de conjuntos (por ejemplo, una teoría es un conjunto de instrucciones). Uno de los objetivos de un conjunto formal de la teoría consiste en ofrecer una rigurosa base para tales supuestos. Una teoría formal de conjuntos vinculados con la informal, la teoría del fin de no proporcionar un fundamento adecuado. La única opción real es entre tener una formales de la teoría de conjuntos, tales como la tenemos ahora con ZFC y formal de la teoría de los conjuntos + fin (algo así como ZFC ampliado con nuevas primitivas y nuevos axiomas). Desde Kurtaowski construcción muestra que podemos obtener con el primero, éste acaba de hacer la teoría más complicada con ningún beneficio real.

Answer 2

Un lenguaje que no tiene limitaciones en sentential la auto-referencia es inherentemente incompatibles. (E. g. Sentencia dice que "B es falsa" y la frase B dice "es verdad".) En el conjunto teórico de los sistemas de ZF (Zermelo-Fraenkel) y ZFC, la limitación es de 0. Cadenas de símbolos en el lenguaje formal no puede ser interpretado como afirmaciones acerca de otras cadenas. Ciertas cadenas se denominan fórmulas y ciertas fórmulas son llamados oraciones. Ciertas frases son llamados axiomas. Los teoremas son las penas que se pueden derivar de los axiomas por ciertas reglas. Podremos introducir nuevos símbolos que son abreviaturas para las cadenas, siempre que no se introduzcan nuevos axiomas. (A menos que esa es nuestra intención.)

$z=\{x,\{x,y\}\}$ es una abreviatura para la cadena de $\forall u\;(u\in z\iff (u=x\lor [\forall s\ ;(s\in u\iff (s=x\lor s=y))])).$ Desde el sistema de axiomas de ZF podemos derivar el teorema $\forall x,y \exists! z\;(z=\{x,y\}).$ Y podemos, a continuación, insertar el símbolo de $(x,y)$ $\{x,\{x,y\}\}$ donde aparece en una fórmula.