¿Cómo es que un conjunto vacío está realmente "vacío"?

Question

En un relacionado pregunta, un contestador dice:

una bolsa vacía es una bolsa sin nada en su interior.

Tiene sentido, pero estoy leyendo un libro de texto ahora mismo que dice:

El conjunto vacío sólo tiene un subconjunto (a saber, él mismo).

Lo que me parece impar. Si un conjunto es vacío ¿Por qué iba a contener un subconjunto? Independientemente de que el subconjunto sea también un conjunto vacío, el "conjunto vacío" sigue conteniendo un subconjunto, así que ¿cómo es que está realmente "vacío"?

Volviendo a la analogía de la bolsa vacía, me suena a lo que dice mi libro de texto:

una bolsa vacía es una bolsa que no tiene nada más que una bolsa vacía en su interior.

Lo cual no tiene sentido porque entonces la bolsa no está vacía. No puedo entender este concepto.

Answer 1

El uso de la palabra "contiene" es un poco engañoso. Cuando hablamos de un conjunto $A$ "que contiene un subconjunto $B$ lo que realmente queremos decir es que $A$ contiene todos los elementos del conjunto $B$ (es decir, para cada $x\in B,$ tenemos $x\in A$ ). En ese sentido, estamos diciendo que una bolsa vacía es una bolsa que contiene exactamente lo que contiene una bolsa vacía: nada en absoluto.

Es posible (aunque no en el caso del conjunto vacío) que un conjunto $A$ contiene un conjunto $B$ tanto como elemento y como subconjunto. Por ejemplo, el conjunto $$A=\bigl\{1,\{1\}\bigl\}$$ tiene $$B=\{1\}$$ como elemento (obvio, espero) y como subconjunto (porque $A$ contiene todos los elementos de $B$ ). Sin embargo, aquí es (un lugar) donde la analogía de la bolsa de la compra se rompe, ya que la analogía de la bolsa de la compra sugeriría que lo anterior $B$ es un subconjunto de los anteriores $A$ en virtud de estar contenida en $A$ como elemento. Esto no es así. De hecho, si consideramos $$C=\bigl\{\{1\}\bigl\},$$ entonces encontramos que $B$ es un elemento de $C,$ pero no un subconjunto de $C,$ desde $1$ es no es un elemento de $C$ ¡!

Así, dados dos conjuntos arbitrarios $A$ y $B$ , $B$ puede ser:

• un subconjunto de $A$ pero no un elemento ( Por ejemplo para cualquier conjunto $A$ tal que $\emptyset\notin A$ , dejemos que $B=\emptyset$ ),
• un elemento de $A$ pero no un subconjunto,
• un elemento y un subconjunto de $A$ ,
• ni un elemento ni un subconjunto de $A$ (Considere $A=\{1\},$ $B=\{3\}$ ).

Answer 2

¿Sabes lo que significa realmente que un conjunto sea un subconjunto de otro conjunto? Si el conjunto $A$ es un subconjunto del conjunto $B$ entonces escribimos $A\subseteq B$ Ahora, para demostrar que $A\subseteq B$ debemos demostrar que $x\in A\to x\in B$ .

El hecho de que $\varnothing\subseteq\varnothing$ no es realmente tan sorprendente si se conoce lo que es un llamado " la verdad vacía " es. Eso es, $x\in\varnothing$ es claramente falso; por tanto, podemos concluir libremente (es decir, "vacuamente") lo que queramos. Por lo tanto, $x\in\varnothing\to x\in A$ , donde $A$ es cualquier conjunto, incluyendo el conjunto vacío.

¿Esto aclara las cosas? Parece que quieres una forma materialista o intuitiva de ver que $\varnothing\subseteq\varnothing$ cuando realmente el clave radica en entender qué significa que un conjunto sea el subconjunto de otro conjunto y también qué es una verdad vacía y cómo se puede utilizar.

Answer 3

Usted está confundiendo " subconjunto de " ( $\subseteq$ ) con " elemento en " ( $\in$ ).

Posiblemente se deba a que se confunde el conjunto de elementos (canicas) con el contenedor (la bolsa) que tiene el conjunto.   La bolsa es no el conjunto, el conjunto es el colección sostenida por la bolsa.

El juego está vacío, ya que no hay canicas en la bolsa.   Este conjunto vacío no se puede subdividir en conjuntos más pequeños; ya que ninguno es el menor número de canicas que se puede obtener.

Por tanto, el conjunto vacío es el único subconjunto del conjunto vacío, $\varnothing \subseteq \varnothing$ pero el conjunto vacío no es un elemento de sí mismo. $\varnothing \notin\varnothing$ .

A la inversa, el conjunto de un conjunto vacío no es un conjunto vacío. $\{\{\}\}\neq \{\}$

Answer 4

Tu última afirmación "una bolsa vacía es una bolsa que no tiene nada más que una bolsa vacía en su interior" no es correcta.

El hecho de que A sea un subconjunto de B no significa que B contenga el conjunto A. Simplemente significa que A es otra bolsa (contenedor) como B (que también es un contenedor) que contiene los elementos extraídos del interior de la bolsa B.

Answer 5

Como han señalado otros carteles, estás confundiendo "elemento de" con "subconjunto de".

Para aplicar su analogía de la bolsa/mármol a esta situación, si decimos que A es un subconjunto de un conjunto B entonces estamos diciendo lo siguiente:

1. A y B son el mismo tipo de cosas. Es decir, ambos A y B son bolsas y ninguna de ellas es una canica.
2. x A implica x B . Es decir, todas las canicas de la bolsa A también se encuentran en la bolsa B . Por ejemplo, tal vez A contiene una canica roja y otra azul, mientras que B contiene una canica roja, una azul y una verde.