Encontrar una fórmula para la secuencia $(a_n)$

Question

Le agradeceria si alguien me pudiera ayudar con el siguiente problema

Q: hallazgo $a_n=?$

$$a1=1, a{n+1}=\frac{a_n+4}{a_n+1}(n=1,2,3,\cdots) $$

Answer 1

SUGERENCIA:

Paso 1:

Resolver: $$x=\frac{x+4}{x+1}$ $ primera. Tiene $x=2$ y $x=-2$.

Paso 2:

Dividir $$a_{n+1}+2=\frac{a_n+4}{an+1}+2,$ $ y % $ $$a{n+1}-2=\frac{a_n+4}{an+1}-2.$$$\frac{a{n+1}+2}{a{n+1}-2}=(-3)\frac{a{n}+2}{a_{n}-2}.$$

Paso 3:

Conjunto de $bn=\frac{a{n}+2}{a_{n}-2}$, que $b_1=-3.$

Tienes %#% $ #%

Paso 4:

Resolver $$b_n=(-3)^n.$

Tienes %#% $ #%

PD: no sé por qué la gente acaba de votar.

Answer 2

Idea: Tratar de hacer es lineal.

La primera idea (más):

Escribir $$a_n:=p_n/q_n.$$, a Continuación, obtener

$$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{p_n+4q_n}{p_n+q_n}$$

es decir, obtener una recurrencia lineal de las dos secuencias de $p_n$$q_n$. $$ \begin{align*} p_{n+1}&:=p_n+4q_n\\ q_{n+1}&:=p_n+q_n \end{align*} $$

Ahora, hay (muchos) los métodos para la resolución de recurrencias lineales. En primer lugar, puede cambiar las variables para diagonalize la matriz de coeficientes a la derecha (o al menos hacer triangular). A continuación, se puede resolver el sistema con facilidad. Las palabras clave que podrían puntos a los diferentes métodos para la resolución de recurrencias lineales son: la generación de la serie, Z-transformar, ...

Si tienes dudas preguntar más, pero inténtelo primero y también leer un poco, por ejemplo aquí (http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation#Solving).

Segunda idea (más corto):

OH! Wikipedia tiene un artículo sobre este tipo de recurrencias. Aquí (http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_difference_equation) Tienen una sustitución de ahí que se le da una recurrencia lineal en una variable directamente, en lugar de un sistema de primera como lo hice. Que es más rápido.

Así, escribir $a_n=x_{n+1}/x_n-1$, en su caso. Tenemos $$ \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}-1=\frac{x_{n+1}/x_n+3}{x_{n+1}/x_n} $$

Este rendimientos

$$ x_{n+2}+x_{n+1}=x_{n+1}+3x_n $$

Este es homogénea y lineal en una variable. Así que usted puede resolver fácilmente.

Así que, en general, si la recurrencia es

$$z_{n+1}=\frac{az_n+b}{cz_n+d}$$

poner $$z_n:=x_{n+1}/x_n-d/c$$ y usted consigue $$x_{n+2}-\alpha x_{n+1}+\beta x_{n=0}$$

donde $$\alpha:=(a+d)/c$$ y $$\beta:=(ad-bc)/c^2$$

Answer 3

Una idea:

$$a{n+1}=\frac{p{n+1}}{q{n+1}}\;,\;\;\text{with}\;\;q{n+1}=p_n+qn\;,\;\;p{n+1}=\begin{cases}2q{n+1}+1&,\;\;\;n\;\;\text{is odd}\{}\2q{n+1}-1&,\;\;\;n\;\;\text{is even}\end{cases}$$