Me podrían ayudar a verificar mi prueba y mi forma de escribir?
Definición 1: Una relación binaria $R$ $X$ es completo si, para todos los $x, y \in X$ tal que $x \neq y$,$xRy$ o $yRx$ o ambos y reflexiva si, para todos los $x \in X$, $xRx$.
Definición 1.01: Si tenemos $x \lnot R y$$y R x$, tenemos una relación binaria $P$ $X$ tal que $yPx$.
Definición 2: un débil de la preferencia de relación $R$ en una serie elegida $X$, la máxima set $M(R, X) \subset X$ se define como $M(R,X) = \{ x \in X | x R y \forall y \in X\}$.
Definición 3: Una relación binaria $R$ es acíclico si en cualquier conjunto finito $\{x_1, x_2, ..., x_n\} \in X$, $x_i P x_{i+1}$ para todos los $i < n$ implica $x_1Rx_n$$x_n \lnot Px_1$.
La proposición. Si $X$ es finito y $R$ es una completa y reflexiva de la relación binaria en a$X$, $M(R, S) \neq \emptyset$ sobre cualquiera de las $S \subset X$ ( con la excepción de $S = \emptyset$ ) iff $R$ es acíclico.
Prueba: sabemos que la relación binaria $R$ $S$ es completa y reflexiva porque es completa y reflexiva en $X$, e $S$ es subconjunto de a $X$.
$\Rightarrow$
Suponga $M(R,S)$ no está vacío. Definir un conjunto finito $S \subset X$ tal que $S = \{s_1, s_2, ..., s_n\}$ . Supongamos $s_1 P s_2 P ... P s_n$. A continuación, para todos los $s \in S$ tal que $s \neq s_1$ existe $r \in S$ tal que $r P s$. Como $M(R,S)$ no está vacío, $M(R,S)$ sólo puede ser$\{s_1\}$,$s_n \lnot P s_1$$s_1 R s_n$. La relación es acíclico.
$\Leftarrow$
Supongamos $R$ es acíclico en $S$, $s_1 P s_2 P ... P s_n$ implica $s_1 R s_n$. La ampliación de la definición de cualquier $j$ tal que $n \geq j \geq 2$ llegamos a la conclusión de que $s_1 R s_j$$s_j \lnot P s_1$ . Entonces M(R,S) es no vacío.
$\blacksquare$
