¿Puede interpretarse la segunda derivada de una función como la pendiente de sus "líneas de concavidad"?
Por ejemplo, considere la siguiente imagen:
Hace $f''$ para cada punto $x$ que corresponde a una flecha dibujada (para la que hay $9$ en la picatura) corresponde a la pendiente de la recta que se obtendría al prolongar su flecha de concavidad en una recta?
Para las regiones cóncavas hacia arriba, $f''>0$ . Del mismo modo, las regiones que son cóncavas hacia abajo son donde $f''<0$ . Para los tres primeros puntos $f''>0$ Sin embargo, esto no significa que todas las pendientes sean positivas. Por ejemplo, al extender la flecha de concavidad en el tercer punto x, se observa que la pendiente es negativa. Lo mismo ocurre con el segundo y el quinto punto (líneas verticales), el sexto punto es positivo y el noveno punto es negativo. Por lo tanto, el signo de $f''$ no se corresponde con el signo de la pendiente.
La respuesta corta es no.
Cada flecha es perpendicular a una línea tangente de la curva. Un vector que apunta en la dirección de la línea tangente a $x$ es $(1,f'(x))$ por lo que un vector que apunta perpendicularmente a la línea tangente es $(-f'(x),1)$ . (El producto punto de estos dos vectores es cero.) El sentido de las flechas de la imagen (hacia arriba o hacia abajo) está relacionado con la concavidad: apuntando hacia arriba para cóncavo hacia arriba (convexo) y hacia abajo para cóncavo hacia abajo (cóncavo). Dado que $f''(x)\geq 0$ en el primer caso y $f''(x)\leq 0$ en este último caso, entonces cada flecha apunta en la dirección $$[f''(x)](-f'(x),1).$$ Así, la dirección de cada flecha depende tanto de la primera como de la segunda derivada (es decir, tanto de la pendiente como de la concavidad).
Por ejemplo, en un mínimo local donde la función tiene derivada cero y segunda derivada positiva (convexa), la flecha apunta en la dirección $(0,1)$ .
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Entonces, asumo que estás preguntando si $f'' > 0$ corresponde a pendientes positivas y $f'' < 0$ ¿corresponde a pendientes negativas?
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No, piensa en las flechas que son verticales, éstas tienen pendiente indefinida y sin embargo la segunda derivada está definida en estos puntos.
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No estoy seguro de lo que quieres decir, pero observa que hay "flechas de concavidad con pendientes tanto negativas como positivas" en una región donde $f''$ es siempre positivo (siempre negativo).