¿Cómo simplificar $\frac{ e^{i \sqrt{i} } }{4 } $?

Question

Me gustaría calcular el $$\int{0}^{\infty} \frac{x^3 \sin(x)}{1+x^4} dx $$ by means of the Residue Theorem. I would like to do this by calculating $$\int{\alpha} \frac{z^3 e^{iz} }{1+z^4} , $$ (in which the image of $\alpha$ describes a half circle in $\mathbb{C}$ and joints the endpoints, such that the two singularities $z_1=\sqrt{i}$ and $z2=\sqrt{-i}$ are within this half-circle) and considering the imaginary part of $$2 \pi i \sum{j=1}^{2} Res(f;z_j).$$ por lo que ahora tengo que calcular los residuos. Digo que quiero calcular el residuo de $z_1$. Tenemos $$Res(f;z1) = \lim{z \to \sqrt{i}} (z-\sqrt{i}) \frac{e^{iz} z^3}{(z+\sqrt{i})(z-\sqrt{i})(z+\sqrt{-i})(z-\sqrt{-i}) } . $ $ después de algunas manipulaciones algebraicas este rendimiento (creo): %#% $ de #% mis cálculos de los otros residuos produce una expresión aún más desagradable. ¿Sabe cómo puedo simplificar estas expresiones?

Answer 1

Si lo que necesita y tenga en cuenta que $\sqrt{i}$ $i=e^{i{\tfrac{\pi}{2}}}$ y por lo tanto se puede tomar $\sqrt{i}$ $e^{i{\tfrac{\pi}{4}}}$ % es decir $\frac{\sqrt{2}}{2}+ i \frac{\sqrt{2}}{2}$. Multiplicando esto por $i$ obtienes la respuesta. Usted debe tener cuidado con el cálculo aunque ya $i$ tiene otra raíz cuadrada, así.