Cociente de un anillo local Regular.

Question

<blockquote> <p>¿Es el cociente de un anillo local regular por un primer Cohen-Macaulay ideal? Si es así, ¿cómo nos vemos, si no, hay un contraejemplo?</p> </blockquote> <p>Sabemos que un anillo local regular es una UFD, así $0$ es un primer ideal, así que en este caso, el cociente es un anillo local regular y por lo tanto un anillo de CM.</p>

Answer 1

Cualquier local completo noetherian anillo es un cociente de un anillo local regular. Esto se llama Cohen estructura del teorema de noetherian completa anillo local (véase, por ejemplo, Matsumura Conmutativa Anillo de la Teoría del Teorema de 29.4). Por lo que cualquier completar noetherian integral de dominio es un cociente de un local regular anillo por un alojamiento ideal. Para construir un contraejemplo a su pregunta, por lo que es suficiente para presentar una completa locales noetherian dominio que no es Cohen-Macaulay. El anillo de $k[X^4,X^3Y,XY^3,Y^4]$ (la cual no es un CM de dominio) es un buen punto de partida.

En la dirección positiva, tu comentario puede ser generalizado para tomar el cociente por cualquier secuencia regular (no necesariamente un sistema de parámetros).Esto le da una completa intersección del anillo, por lo tanto, un CM anillo.