¿Cuántas funciones de $\{0,1\} \times \{0,1\}$ $\{0,1,2\}$ existen?

Question

La pregunta en mi tarea es:

¿Cuántas funciones de ${0,1} \times {0,1}$ ${0,1,2}$ existen? ¿Cuántos son uno a uno? ¿Cuántos están en?

Mi primer paso fue realizar el producto cartesiano de ${0,1} \times {0,1}$ para obtener un conjunto

$$A = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}$$

Sin embargo no estoy seguro de qué hacer. Cualquier ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Existe una manera muy fácil a la cuenta de cuantas existen funciones de a a B - ¿cuántos elementos no tienen? Para cada elemento de Una, ¿cuántos de los diferentes elementos de B son de ahí, se podría mapa? Por lo tanto, el número total de diferentes asignaciones hay de a a B?

Para uno-a-uno funciona, ¿y eso qué implica? Es posible llevar a cada uno de los elementos y asignarla a un elemento diferente de B?

Para en funciones, que no puede irreflexivamente pensar en una buena manera de enumerar otros que sólo la lista de todas las funciones y las marcas de las que están en. Usted podría hacerlo en la otra dirección, por contar cuántas funciones hay de que un determinado elemento de B no está en la imagen de la función, pero entonces el riesgo de doble contabilización. Afortunadamente, el número de posibles funciones es bastante pequeña.

Answer 2

Contamos en funciones. En general, se podría utilizar una Inclusión/Exclusión argumento, pero en nuestro caso, se puede conseguir lejos con un enfoque más sencillo.

Si nuestra función es a, debe asignar dos de los cuatro elementos de la $A$ a la misma cosa, y el otro dos cosas diferentes.

Los dos elementos que serán asignados a la misma cosa puede ser elegido en $\binom{4}{2}$ maneras. El objeto que se asignan a puede ser elegido en $3$ formas, para un total de $\binom{4}{2}\cdot 3$.

Para cada una de estas formas, hay $2$ formas de elegir donde uno de los elementos restantes de $A$ va, y ahora la función se determina. Así que hay $\binom{4}{2}\cdot 3\cdot 2$ en funciones.