Probar que el siguiente límite es $\frac{4}{e}$

Question

Quiero probar el siguiente límite

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{(2n)!}{n!}\right)^{\frac1n}=\frac4e$$

En un ejercicio anterior encontré que $\int_1^2\ln x dx=2\ln(2)-1$ que también es igual a $\ln(4/e)$. ¿Estoy pensando en que alguna forma podría utilizar este resultado?

Answer 1

Sugerencia. Uno puede considerar el logaritmo de la secuencia dada, $$\begin{align} \log\left[\frac{1}{n}\left(\frac{(2n)!}{n!}\right)^{\frac1n}\right]&=\log\left(\frac1n\right)+\frac1n \log\left(\prod{k=1}^n (n+k) \right) \\&=-\log n+\frac1n\sum{k=1}^n \log\left(n+k \right) \\&=\frac1n\sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac kn \right) \end {alinee el} $$ entonces uno puede concluir con una suma de Riemann.

Answer 2

Alternativamente, también podemos utilizar el hecho de que si $a_n>0$ todos los $n\ge1$ y la secuencia de $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ converge en $[0,\infty]$, luego $$ \lim_{n\to\infty}a_n^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} $$ (ver respuesta).

Tenemos que $$ a_n=\frac{(2n)!}{n^nn!} $$ y $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{n+1}(n+1)!}\cdot\frac{n^nn!}{(2n)!} =\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}\cdot\biggl(1-\frac1{n+1}\biggr)^n. $$ El primer término converge a $4$ y el segundo término converge a $1/e$. Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty}a_n^{1/n}=\frac4e. $$

Answer 3

Considerando $$A=\left(\frac{(2n)!}{n!}\right)^{\frac1n}\implies \log(A)=\frac1n\,\log\left(\frac{(2n)!}{n!}\right)$$ Now, using Stirling approximation, you should get $$\log(A)=\frac1n\left(n (\log (n)-1+2 \log (2))+\frac{\log (2)}{2}+O\left(\frac{1}{n}\right) \right)$$ that is to say $$\log(A)=(\log (n)-1+2 \log (2))+\frac{\log (2)}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ Now, back to Taylor $$A=e^{\log(A)}=\frac{4 n}{e}+\frac{2 \log (2)}{e}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ So, for your expression $% $ $\frac An=\frac{4 }{e}+\frac{2 \log (2)}{en}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$que muestra el límite y cómo se aborda.