Mostrando que $(x^2 - 2)(x^2 - 3)(x^2 - 6)$ tiene una raíz en $\mathbb{F}_p$

Question

Deje $p$ ser un número primo, $K = \mathbb{F}_p$ el campo con $p$ elementos, y $f = (x^2 - 2)(x^2 - 3)(x^2 - 6) \in K[x]$. Ahora quiero mostrar que $f$ tiene una raíz en $K$.

Sé que para mostrar la declaración, es suficiente para mostrar que no existe una $a \in K$, de modo que al menos uno de estos factores en $f$ hace $= 0$ que $a$. Pero no sé cómo puedo muestran en general que. He intentado (y verificar) la declaración de los primeros números primos, con la esperanza de que eso me daría una idea general, pero no he tenido éxito hasta ahora.

Se me dio la pista de que podría en algún momento de utilizar el hecho de que $K^\times$ es cíclica, pero no veo cómo eso puede entrar en juego.

Answer 1

Si $a\in K^\times$ no es un residuo cuadrático, entonces el bijection $\mu_a:K^\times\to K^\times$ dado por la multiplicación por $a$ toma de residuos cuadráticos para un no-residuo, y por lo tanto cualquier no-residuo de un residuo (ya que exactamente la mitad de $K^\times$ son residuos cuadráticos; esto puede ser probado mediante la ciclicidad). Ahora tenga en cuenta que $\mu_2(3)=6$.

La reformulación mediante la ciclicidad de manera más explícita: Vamos a $a$ ser un generador del grupo $K^\times$. A continuación,$2=a^m,3=a^n$$6=2\cdot3=a^{m+n}$. Al menos uno de los exponentes $m,n$ $m+n$ debe ser, incluso, lo que significa que uno de $2,3$ $6$ debe ser un cuadrado de $K$.

Answer 2

Por el multiplicativity del símbolo de Legendre $$ \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)=\left(\frac{ab}{p}\right)\tag{1} $ $ se deduce que cada % prime $p\geq 5$al menos un elemento del conjunto ${2,3,6}$ es un residuo cuadrático: si ambos $2$ y $3$ son no residuos cuadráticos, $6$ es un residuo cuadrático. Se deduce que al menos uno polinomio entre $x^2-2,x^2-3,x^2-6$ completo se divide en $\mathbb{F}_p$. El % de casos $p=2$y $p=3$ son triviales.