Producto interno en el producto tensorial de espacios de Hilbert

Question

Deje $H_1$ $H_2$ ser espacios de Hilbert con el interior de los productos de $\langle\cdot,\cdot\rangle_1$$\langle\cdot,\cdot\rangle_2$, respectivamente. A continuación, $H_1\otimes H_2$ es de al menos un pre-espacio de Hilbert (no estamos preocupados por la integridad de aquí).
En este producto tensor podemos definir un producto interior mediante el establecimiento de $$\langle v_1\otimes v_2,w_1\otimes w_2\rangle:=\langle v_1,w_1\rangle_1 \langle v_2,w_2\rangle_2$$ para $v_1,w_1\in H_1,\;v_2,w_2\in H_2$. Esto es como en todos los libros de texto definen.

Sin embargo, no entiendo por qué este producto es bilineal. Para demostrar bilinearity, podríamos considerar algo como $$\langle \lambda u_1\otimes u_2+ v_1\otimes v_2,w_1\otimes w_2\rangle,$$ pero en general no es posible escribir la suma de $\lambda u_1\otimes u_2+ v_1\otimes v_2$ como un puro producto tensor. Por lo tanto, no sería posible escribir esta en la forma de la definición que formalmente no permite sumas de tensor de productos.

En la literatura sobre este tema, la definición anterior es la única información sobre el nuevo producto interior, entonces mi pregunta es: Son los libros de texto que falta el hecho de que bilinearity no se sigue de la definición anterior (es decir, bilinearity debe ser parte de la definición con el fin de obtener un producto interior) o ¿me olvido de algo y bilinearity ya está claro a partir de la definición?

Answer 1

El mapa $b:(v_1,v_2,w_1,w_2)\in (H_1\times H_2)\times (H_1\times H_2)\to \langle v_1,w_1\rangle_1\langle v_2,w_2\rangle_2\in\mathbb R$ es multinear.
Para factores a través de $$\begin{array}{cc}\otimes\times\otimes:&(H_1\times H_2)\times (H_1\times H_2)\to (H_1\otimes H_2)\times (H_1\otimes H_2)\&(v_1,v_2,w_1,w_2)\mapsto(v_1\otimes v_2,w_1\otimes w_2)\end{array}$$ and a bilinear form $\langle\cdot, \cdot\rangle:(H_1\otimes H_2) \times (H_1\otimes H_2) \to\mathbb R.$
Este último es precisamente el producto.

Answer 2

La declaración citado no proporciona suficiente información para completamente determinar la función de $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sesquilinearity desprende de la cláusula que indica que es un producto interior, y cualquier sesquilinear mapa está completamente determinada por sus valores en los pares de bases de los elementos.

El desafío no está a probar que es sesquilinear, pero para demostrar que es bien definido.

En general, las definiciones no son de la forma

<thing to be defined> := <thing it is defined as>

es el lugar más común para definir implícitamente por proporcionar información suficiente para determinar de forma única. Esto puede ayudar a digerir este hecho señalando que la definición de función $f$ por

$$f(x) = x^2 + 2x + 1$$

is actually an implicit definition for $f$ -- you aren't defining $f$ directly, but instead you are providing an equation involving the evaluation operator applied to $f$ (e $x$).