Demostración de una identidad para una forma especial del tensor de Riemann

Question

Tengo un problema con los deberes. Dado que el tensor de Riemann es $$R_{abcd} = g_{ac}S_{bd} + g_{bd}S_{ac} - g_{ad}S_{bc} - g_{bc}S_{ad}$$ Tengo que demostrar que $$\text{For} \ N>3 \ , \ S_{ab;c} = S_{ac;b}$$

Utilicé la segunda identidad de Bianchi $R_{ab[cd;e]} = 0$ para conseguir $$g_{ac}(S_{bd;e} - S_{be;d}) + g_{ad}(S_{be;c} - S_{bc;e}) + g_{ae}(S_{bc;d} - S_{bd;c}) \\ + g_{bc}(S_{ae;d} - S_{ad;e}) + g_{bd}(S_{ac;e} - S_{ae;c}) + g_{be}(S_{ad;c} - S_{ac;d}) = 0$$

Ahora contrato ambos lados con $g^{ac}$ para conseguir $$(N-3)(S_{bd;e}-S_{be;d}) + g^{ac}g_{bd}(S_{ac;e} - S_{ae;c}) + g^{ac}g_{be}(S_{ad;c} - S_{ac;d}) = 0$$

Sólo si supiera cómo tratar el segundo y el tercer término, este problema estaría resuelto. Porque para $N=2$ Hay otra identidad dada en una parte anterior que hace que el LHS sea trivialmente 0.

Necesito ayuda para argumentar que los tres términos tienen que ser individualmente cero y entonces $N \neq 3$ que completará la prueba.

Answer 1

Contrato con $g^{bd}$ . Eso demostrará $g^{ac}(S_{ad;c} - S_{ac;d}) = 0$ , por lo que puedes poner el segundo y el tercer término a cero.

Answer 2

Tienen tres índices de tasas $b,d,e$ contrato con $g^{bd}$ nos dejará un solo índice que es más fácil de manejar $$(N-3)g^{bd}(S_{bd;e}-S_{be;d}) + g^{ac}g_{bd}g^{bd}(S_{ac;e} - S_{ae;c}) + g^{ac}g_{be}g^{bd}(S_{ad;c} - S_{ac;d}) = 0\;,\\ \longrightarrow (N-3)g^{bd}(S_{bd;e}-S_{be;d}) + g^{ac}N(S_{ac;e} - S_{ae;c}) + g^{ac}\delta^d_e(S_{ad;c} - S_{ac;d}) = 0\;,\\ (N-3)g^{bd}(S_{bd;e}-S_{be;d}) + g^{ac}N(S_{ac;e} - S_{ae;c}) + g^{ac}(S_{ae;c} - S_{ac;e}) = 0\;,\\ ((N-3)+N-1)g^{bd}(S_{bd;e}-S_{be;d})=0\;,\\ (2N-4)g^{bd}(S_{bd;e}-S_{be;d})=0\;,\\ (N-2)g^{bd}(S_{bd;e}-S_{be;d})=0\;. $$ En general $g^{bd}\neq 0$ Así pues, para $N > 3$ tenemos $S_{bd;e}=S_{be;d}\;.$