Si $X$ es uniforme en $(-1,1)$ , encontrar $g(x)$ para que $Y = g(X)$ tiene pdf $f_Y (y) = 2e^{-2y}$

Question

Si $X$ se distribuye uniformemente en $(-1, 1)$ , encontrar $g(x)$ para que la variable aleatoria $Y = g(X)$ puede tener la función de densidad $f_Y (y) = 2e^{-2y}, \ y > 0.$

Supongamos que $g:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ sea una función monotónicamente creciente tal que $Y=g(X)$ .

Dejemos que $a \in (-1,1)$ y $b=g(a)$ . Por lo tanto, tenemos $$P(Y \leq b)=P(X \leq a) $$

$P(Y \leq b) =\int_0^b 2e^{-2y} dy = 1-e^{-2b} $ y $P(X \leq a) = \frac{a+1}{2}$ (X es uniforme).

Por lo tanto, $1-e^{-2b}=\frac{a+1}{2}$ . Por lo tanto, $b = -\frac{1}{2} \log (\frac{1-a}{2})$ .

Por lo tanto, $$ g(x) = -\frac{1}{2} \log (\frac{1-x}{2}). $$

¿Es esto correcto? ¡Ayuda!

Answer 1

Todo se ve bien. Aquí hay otra explicación que puede darle otra perspectiva de los pasos que ha dado.

En general, si $F_Y$ es la FCD de una variable aleatoria $Y$ entonces la variable aleatoria $F_Y(Y)$ sigue la distribución uniforme en $(0,1)$ . (Ver muestreo por transformación inversa .) Entonces $2F_Y(Y)-1$ es uniforme en $(-1,1)$

La FCD de $Y$ es $F_Y(y) = 1 - e^{-2y}$ Así que $X = 2(1-e^{-2Y})-1$ es uniforme en $(-1,1)$ . Invirtiendo esto se obtiene la función $g(x)=-\frac{1}{2} \log \frac{1-x}{2}$ que es el mismo que el tuyo.