Automorfismo y automorfismo interno

Question

¿Cuál es un ejemplo de un automorfismo de un grupo G que no pertenece a Inn(G), el grupo de todos los automorfismos internos?

Answer 1

Elige cualquier automorfismo de un grupo abeliano que no sea la identidad. Por ejemplo, cualquier transformación lineal invertible $\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ (que no es la identidad) es un automorfismo no interior de $(\mathbb R^n,{+})$ . O, si quiere un ejemplo totalmente concreto, ¿qué le parece $f(x)=x^3$ como un automorfismo de $\mathbb R^\times$ ?

Para los grupos no abelianos, el ejemplo más sencillo es probablemente el automorfismo de $A_4$ dado por la conjugación por la transposición $(1\,2)$ . (Esto no es interno porque $(1\,2)\notin A_4$ ).

Answer 2

Todo automorfismo interno de grupos abelianos es identidad. $f: g \rightarrow g^{-1}$ es un automorfismo para grupos abelianos.

Answer 3

Dejemos que $F=\langle x, y \rangle $ sea un grupo libre de rango 2 con $x$ y $y$ como palabras generadoras.

Entonces $\phi: F \rightarrow F$ con $\phi(x)=y$ y $\phi(y)=x$ inducen un automorfismo de $F$ que no es interior. (Obsérvese que $F$ es un grupo libre por lo que $x$ y $y$ no pueden ser elementos conjugados en $F$ ya que no hay ninguna relación en la presentación de un grupo libre).

De hecho, este ejemplo puede extenderse a cualquier grupo libre de rango finito.